目錄
前言
數學符號
第一章 素數有多少？ 1
1.1 歐幾里得(Euclid)的證明 1
1.2 哥德巴赫(Goldbach)也有證明！ 4
1.3 歐拉(Euler)的證明 6
1.4 Thue的證明 8
1.5 三個被遺忘的證明 9
1.6 Washington的證明 10
1.7 Furstenberg的證明 11
第二章 如何識別一個自然數是否為素數 12
2.1 Eratosthenes篩法 12
2.2 關于同余的一些基本定理 14
2.2A 費馬小定理和模p原根 14
2.2B Wilson定理 17
2.2C Giuga和WolstenholIrie性質 19
2.2D 素數整除a！的最大方冪 21
2.2E 中國剩余定理 24
2.2F 歐拉函數 26
2.2G 二項式序列 32
2.2H 二次剩余 36
2.3 基于同余式的經典素性判定方法 38
2.4 Lucas數列 43
2.5 基于Lucas數列的素性檢測 62
2.6 費馬數 70
2.7 Mersenne數 76
2.8 擬素數 89
2.8A 以2為基的擬素數(psp) 89
2.8B 以a為基的擬素數(psp(a)) 93
2.8C 以a為基的歐拉擬素數(epsp(a)) 96
2.8D 以a為基的強擬素數(spsp(a)) 98
2.9 Carmichael數 101
2.10 Lucas擬素數 105
2.10A Fibonacci擬素數 106
2.10B Lucas擬素數(lpsp(P，Q)） l08
2.10C 歐拉-Lucas擬素數(elpsp(P，Q)和強Lucas擬素數(slpsp(P，Q)) 109
2.10D Carmichael-Lucas數 110
2.11 索性檢測和因子分解 111
2.11A 檢測的成本 112
2.11B 素性檢測的一些方法 113
2.11C 超大素數和奇妙素數 122
2.11D 因子分解 125
2.11E 公鑰密碼體制 130
第三章 是否有定義出素數的函數？ 134
3.1 滿足條件(a)的函數 l34
3.2 滿足條件(b)的函數 l41
3.3 產生素數的多項式 141
3.3A 一次多項式的素數取值 143
3.3B 關于二次域 144
3.3C 產生素數的二次多項式 148
3.3D 素數值和素因子的比賽 152
3.4 滿足條件(c)的函數 156
第四章 素數是如何分布的？ 162
4.1 函數π(x) 163
4.1A 歷史的展現 164
4.1B 包含Mobius函數的一些和式 177
4.1C 素數表 179
4.1D π(x)的確切值和與x/lgx，Li(x)，R(x)的比較 179
4.1E ζ(s)的非平凡零點 183
4.1F ζ(s)無零點區(qū)域和素數定理的誤差項 186
4.1G π(x)的某些性質 187
4.1H 歐拉函數值的分布 190
4.2 第n個素數和素數的間隙 191
4.2A 第n個素數 191
4.2B 素數間隙 192
4.3 孿生素數 199
4.4 k-素數組 205
4.5 算術級數中的素數 213
4.5A 存在無窮多個！ 213
4.5B 算術級數中最小素數 215
4.5C 素數組成算術級數 217
4.6 哥德巴赫著名猜想 220
4.7 擬素數和Carmichael數的分布 225
4.7A 擬素數的分布 225
4.7B Carmichael數分布 228
4.7C Lucas擬素數的分布 230
第五章 哪些特殊的素數被研究？ 232
5.1 正規(guī)素數 232
5.2 Sophie Germain素數 236
5.3 Wieferich素數 239
5.4 Wilson素數 243
5.5 全1素數 244
5.6 數kbn±1 246
5.7 素數和二階線性遞歸序列 252
第六章 關于素數的經驗和概率結果 259
6.1 線性多項式的素數取值 260
6.2 任意次多項式的素數取值 263
6.3 連續(xù)取多個合成數值的多項式 271
6.4 數的分拆 273
附錄1 279
附錄2 284
參考文獻 287
一般性資源 329
10000以內的素數 331
表格目錄 335
記錄的目錄 337
一些最新的記錄 339