第 1章 積分是什么 1

積分的存在意義 2

積分應(yīng)用的基礎(chǔ) 2

所有圖形都與長(zhǎng)方形相通 5

近似的方法 8

和變?yōu)榱朔e分 13

何為接近精確值 18

兩個(gè)思想實(shí)驗(yàn) 20

橢圓的面積 20

地球的體積 25

切口的秘密 32

卡瓦列利原理 32

三分之一的原理 37

圓錐的體積 45

球的體積 48

球的表面積 54

感覺(jué)和邏輯 59

初中入學(xué)考試中的積分 59

像小學(xué)生那樣求圓環(huán)體體積 67

把甜甜圈變成蛇的方法 69

帕普斯-古爾丁定理 73



第 2章 微分是什么 77

微分存在的意義 78

分析鉆石的價(jià)格 78

亮出指數(shù)的理由 86

乘積的微分公式 94

從未知到已知 97

商的微分公式 100

再次擴(kuò)展冪函數(shù)的微分公式 102

豐富多彩的函數(shù)世界 105

山峰和山谷 105

了解切線 109

根據(jù)單調(diào)性表畫(huà)函數(shù)圖像 113

最大值和最小值、極大值和極小值 117

手繪函數(shù)圖像的意義 119

存在休息平臺(tái)的函數(shù) 121

有預(yù)謀地使用微分 128

理想的冰激凌蛋卷筒 128

忽略與不可忽略的界線 138



第3章 探尋微積分的可能性 141

1800年后的真相 142

反軍隊(duì)式學(xué)習(xí)法 142

偉大的發(fā)現(xiàn)會(huì)成為未來(lái)的常識(shí) 144

基本定理的使用方法 152

填坑 160

自然常數(shù)從何而來(lái) 160

無(wú)限接近于精確的值 164

關(guān)鍵在于根號(hào) 166

轉(zhuǎn)換思路能行得通嗎 169

指數(shù)函數(shù)出現(xiàn)了 175

讓關(guān)系更清晰 178

唯一一個(gè)微分后不會(huì)發(fā)生變化的函數(shù) 181

彎曲也沒(méi)問(wèn)題 184

測(cè)量曲線的長(zhǎng)度 184

簡(jiǎn)潔的懸鏈線公式 187

驗(yàn)證項(xiàng)鏈的長(zhǎng)度 194

微積分的真身 199

微分的可能性 199

微分相關(guān)的冒險(xiǎn) 202

近似和忽略 205



后記 207



尾注 209