目錄
第1章 數(shù)列極限
1.1數(shù)列極限的定義與基本性質 1
1.1.1數(shù)列極限的定義 1
1.1.2數(shù)列極限定義的應用 4
1.1.3收斂數(shù)列的性質 10
1.1.4數(shù)列極限的運算法則 14
1.1.5無窮小量及其運算性質 21
1.1.6趨向于無窮大的數(shù)列 21
1.2單調有界定理與應用 24
1.2.1單調有界定理 24
1.2.2兩個典型單調數(shù)列 26
1.2.3單調數(shù)列綜合例題 29
1.3閉區(qū)間套定理與應用 33
1.3.1 閉區(qū)間套定理 33
1.3.2閉區(qū)間套定理的應用 34
1.4柯西收斂準則及其應用 36
1.4.1列緊性定理 36
1.4.2柯西收斂準則 37
1.4.3柯西收斂準則的應用 39
1.5確界存在定理與應用 42
1.5.1確界存在定理 42
1.5.2 確界存在走理的應用44
1.6 有限覆蓋定理 46
1.7 實數(shù)系六個定理的等價性討論 47
1.7.1 實數(shù)的連續(xù)與完備性討論 47
1.7.2 無理數(shù)集合、有理數(shù)集合與實數(shù)集合的進一步討論 51
1.8 數(shù)列的上下極限與應用 52
1 9 施篤茲定理與應用 56
1.9.1 施篤茲定理 56
1.9.2 施篤茲定理的應用 58
1 10 綜合例題選講 59
1.11 提高課 64
1 12 探索類問題72
第2章函數(shù)植限與連續(xù) 77
2.1 集合 77
2.1.1 集合的定義 77
2.1.2 集合的基本術語 78
2.1.3 集合的勢的定義與基本性質 83
2.2 初等函數(shù)的討論 87
2.2.1 初等函數(shù)回顧 87
2.2.2 函數(shù)曲線的數(shù)學描述 89
2.2.3 函數(shù)曲線與數(shù)學建模 90
2.2.4 函數(shù)基本性質討論 91
2.3 函數(shù)極限的定義與基本理論 44
2.3.1 函數(shù)極限的定義 94
2.3.2 函數(shù)極限的基本性質 98
2.3.3 函數(shù)極限的四則運算與夾逼定理 101
2.3.4 復合函數(shù)的極限 103
2.3.5 典型例題 104
2.3.6 海理原理 107
2.3.7 柯西收斂定理 109
2 4連續(xù)函數(shù) 112
2.4.1 連續(xù)函數(shù)與間斷點分類 112
2.4.2 函數(shù)的間斷點類型分析 115
2.4.3 連續(xù)函數(shù)的應用:函數(shù)極限求解與函數(shù)方程 117
2.5 函數(shù)極限的其他形式與結論 120
2.5.1 單側極限 120
2.5.2 自變量趨向于無窮太時函數(shù)的極限 122
2.5.3 典型例題 127
2.6 一致連續(xù)函數(shù) 133
2.6.1 函數(shù)一致連續(xù)的定義 133
2.6.2 函數(shù)一致連續(xù)典型例題 137
2.7 收斂速度討論:無窮小與無窮大階的比較 140
2.7.1 無窮小階的比較 140
2.7.2 無窮小階的運算性質 143
2.7.3 無窮大階的比較 145
2.8 有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質 148
2.8.1 有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 148
2.8.2 連續(xù)函數(shù)性質的進一步討論 153
2.9 綜合例題選講 156
2.10 提高課 162
2.10.1 有限覆蓋定理的進一步認識 162
2.10.2 連續(xù)函數(shù)的不動點定理以及應用 164
2.11 探索類問題 167
第3章導數(shù)的計算與應用 173
3.1 導數(shù)的定義與計算 173
3.1.1 導數(shù)的定義 173
3.1.2 導數(shù)的四則運算法則 176
3.1.3 四則運算應用舉例 177
3.1.4 復合函數(shù)逐層外推求導定理 178
3.1.5 復合函數(shù)逐層外推求導計算例題 179
3.1.6 反函數(shù)求導法則與應用 181
3.2 高階導數(shù) 182
3.2.1 高階導數(shù)的定義與計算 182
3.2.2 萊布尼茨求導公式與應用 184
3.2.3 高階導數(shù)的計算 184
3.3 隱函數(shù)和參數(shù)方程的求導 186
3.4微分中值定理 188
3.4.1 羅爾定理證明 188
3.4.2 羅爾定理應用 189
3.4.3 拉格朗日中值定理證明 191
3.4.4 拉格朗日中值定理應用 193
3.4.5 柯西中值定理 194
3.4.6 柯西中值定理應用 195
3.5 函數(shù)的單調性197
3.5.1 函數(shù)單調性判定定理 197
3.5.2 函數(shù)單調區(qū)間分析應用例題 198
3.6 極值問題 200
3.6.1 極值問題判定定理 200
3.6.2 極值問題求解 201
3.6.3 函數(shù)的最大最小值 203
3.7 凹凸函數(shù) 206
3.7.1 函數(shù)凹凸的定義及詹森定理 a 206
3.7.2 凹凸函數(shù)的判定定理 207
3.7.3 凹凸函數(shù)應用 210
3.8 洛必達法則 213
3.8.1 洛必達法則 213
3.8.2 洛必達法則應用 215
3.9 函數(shù)作圖 217
3.10 綜合例題選講 219
3.11 提高課 223
3.11.1 數(shù)學建模:彩虹現(xiàn)象 223
3.11 2 數(shù)學建模罐子設計 225
3.11.3 方程求根 227
3.11.4 兒類特殊函數(shù)性質的討論 231
3.12探索類問題 236
第4章泰勒公式 239
4.1 微分的定義與運算性質 239
4.1.1 微分的定義與計算 239
4.1.2 高階微分的定義與計算 242
4.1.3 微分的應用:近似計算243
4.2 帶佩亞諾型余項的泰勒公式 243
4.2.1 帶佩亞諾型余項的泰勒公式 243
4.2.2 常用函數(shù)的泰勒展開(佩亞諾型余項) 245
4.2.3 泰勒公式局部逼近 247
4.2.4 函數(shù)的泰勒漸近展開 248
4.3 帶拉格朗日余項的泰勒公式 250
4.3.1 帶拉格朗日余項的泰勒公式 250
4.3.2 泰勒公式的應用 a 252
4.3.3 泰勒公式典型例題 255
4.4綜合例題選講 258
4.5 提高課 44261
4.5.1 泰勒公式在科學計算中的應用 261
4.5.2 拉格朗日插值逼近 264
4.6 探索類問題 266
第5章不定積分 269
5.1 不定積分的定義與基本性質 269
5.2 第一類換元公式與應用 271
5.3 分部積分公式與應用 276
5.4第二類換元公式與應用 278
5.5 幾類特殊函數(shù)的不定積分 282
5.5.1 有理函數(shù)的不定積分 283
5.5.2 三角函數(shù)有理式的不定積分 286
5.5.3 無理根式的不定積分 287
5.6 綜合例題選講289
5.7 探索類問題 295
第6章定積分 297
6.1 定積分的定義與基本運算性質 297
6.2 畫數(shù)可積性討論 303
6.2.1 函數(shù)可積定理 303
6.2.2 可積函數(shù)類 310
6.3 微積分基本定理 318
6.3.1 牛頓-萊布尼茨公式 318
6.3.2 徽積分基本定理 320
6.4定積分的計算 325
6.4.1 定積分的分部積分公式 325
6.4.2 定積分的換元公式 329
6.5 定積分中值定理 44 335
6.5.1 定積分第一中值定理 335
6.5.2 定積分第二中值定理 337
6.5.3 定積分第三中值定理 340
6.6 勒貝格定理 a 341
6.6.1 勒貝格定理 341
6.6.2 勒貝格定理的應用 343
6.7 綜合例題選講 345
6.8 提高課 352
6.8.1 積分算子的應用:函數(shù)的磨光 352
6.8.2 定積分的數(shù)值計算 356
6.8.3 勒貝格積分初步 363
6.9 探索類問題 367
第7章定積分的應用 370
7.1 定積分解決實際問題的一般方法 370
7.2 平面圖形面積的計算 371
7.2.1 直角坐標系下圖形面積計算 371
7.2.2 參數(shù)方程表示的曲線圄成平面圖形的面積 373
7.2.3 極坐標系下平面圖形面積的計算 375
7.3 旋轉曲面面積的計算 377
7.4旋轉體體積的計算方法 383
7.5 曲線的弧長 388
7.6 平面曲線的曲率 391
7.7 定積分的物理應用 393
7.7.1 變力做功與壓力壓強 393
7.7.2 液體的壓力與壓強 394
7.7.3 引力問題 395
7.7.4 力矩和質心 397
7.8 探索類問題 399
第8章廣義積分 401
8.1 無窮積分的基本概念與性質 401
8.1.1 無窮積分的定義 401
8.1.2 無窮積分的計算 405
8.2 無窮積分斂散性的判別方法 408
8.2.1 無窮區(qū)間上非負函數(shù)積分的斂散性判剔 408
8.2.2 無窮積分的狄利克雷和阿貝爾判定定理 412
8.3 瑕積分 419
8.4綜合例題選講 428
8.5 探索類問題 431
第9章數(shù)項級數(shù) 433
9.1 數(shù)項級數(shù)的基本概念與性質 433
9.1.1 數(shù)項級數(shù)的概念 433
9.1.2 數(shù)項級數(shù)的性質 434
9.2 正項級數(shù) 439
9.2.1 正項級數(shù)的比較判別法 439
9.2.2 正項級數(shù)的柯西積分判別法 443
9.2.3 正項級數(shù)的柯西判別法 446
9.2.4 正項級數(shù)的達朗貝爾判別法 448
9.2.5 正項級數(shù)的拉貝判別法 451
9.3 一般級數(shù)收斂問題討論 455
9.3.1 交錯級數(shù) 455
9.3.2 狄利克雷判別法和阿貝爾判別法 456
9.3.3 絕對收斂和條件收斂級數(shù) 460
9.3.4 絕對收斂級數(shù)的性質 464
9.3.5 廣義積分與數(shù)項級數(shù) 467
9.4綜合例題選講 469
9.5 提高課 473
9.5.1 級數(shù)的乘法 473
9.5.2 無窮乘職 476
9.6 探索類問題 480
參考文獻 482