本書是大學幾何學的基礎課程教材，是作者在北京理工大學數(shù)學系講授解析幾何課程的講稿基礎上編寫而成的。它的內容既包含傳統(tǒng)解析幾何的基本內容和方法，也包含經(jīng)典幾何學的初步內容。傳統(tǒng)解析幾何的主要內容包含：仿射空間與向量代數(shù)，仿射坐標系，空間中平面和直線，空間中的旋轉面、柱面和錐面，二次曲線和二次曲面的方程化簡，二次曲面的圓紋性和直紋性等。經(jīng)典幾何學的初步內容主要包含：歐氏幾何、仿射幾何和射影幾何。歐氏幾何主要介紹二維和三維空間中的歐氏幾何，相應的仿射幾何主要介紹二維和三維空間中的仿射幾何。而射影幾何主要介紹二維射影平面上的射影幾何。為了內容完備性和概念上的統(tǒng)一，本書將所需要的代數(shù)內容作為補充放在相應的章節(jié)后，便于沒有學習過相應代數(shù)知識的讀者查閱。本書突出幾何學的直觀性，強調形與數(shù)的結合，既有代數(shù)推導又有幾何直觀，且配有大量的例子和習題。
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教授，博士生導師。于2005年北京大學數(shù)學科學學院獲博士學位，主要從事微分幾何方向的研究。
目錄
前言
第1章 仿射空間與向量代數(shù) 1
1.1 仿射空間與歐氏空間 1
1.1.1 現(xiàn)實空間幾何結構的代數(shù)化 1
1.1.2 空間中直線和平面的幾何結構的代數(shù)化 5
1.1.3 n維仿射空間與歐氏空間 9
1.1.4 三維歐氏空間 12
1.1.5 空間中仿射坐標系及其幾何應用 16
習題1.1 24
1.2 空間中向量的外積、混合積和二重外積 27
1.2.1 向量的外積 27
1.2.2 向量的混合積和二重外積 31
習題1.2 37
1.3 映射與關系 38
1.3.1 集合間的映射 38
1.3.2 等價關系與集合分類 42
習題1.3 43
1.4代數(shù)補充：矩陣、行列式與向量空間 44
1.4.1 矩陣及其運算 44
1.4.2 行列式 48
1.4.3 向量空間 50
1.4.4 歐氏向量空間 54
第2章 圖形的方程 58
2.1 圖形的一般方程與參數(shù)方程 58
2.1.1 圖形的一般方程 58
2.1.2 圖形的參數(shù)方程 60
習題2.1 63
2.2 空間中平面的方程 64
2.2.1 平面的方程 64
2.2.2 平面間的位置關系 68
習題2.2 71
2.3 空間中直線的方程及其位置關系 72
2.3.1 直線的方程 72
2.3.2 直線、平面間的位置關系 77
2.3.3 平面、直線間的距離與夾角 81
2.3.4 空間中關于直線或平面的反射變換 88
習題2.3 92
2.4 空間中球面與圓的方程及其反演 95
2.4.1 球面的方程與空間中的反演變換 95
2.4.2 圓的方程與平面上的反演變換 102
習題2.4 105
2.5 空間中旋轉面、柱面和錐面的方程 107
2.5.1 旋轉面的方程 107
2.5.2 直線為母線的旋轉面 113
2.5.3 柱面的方程 116
2.5.4 錐面的方程 119
2.5.5 圓紋面和直紋面 123
習題2.5 124
2.6代數(shù)補充：線性方程組 128
第3章 坐標變換與圖形方程的化簡 132
3.1 仿射坐標系的變換與代數(shù)曲面.132
3.1.1 空間和平面中仿射坐標系的變換 132
3.1.2 在坐標系的變換下圖形方程的變換 137
3.1.3 代數(shù)曲面與代數(shù)曲線 143
習題3.1 145
3.2 平面上二次曲線方程的化簡 147
3.2.1 平面上直角坐標系的平移和旋轉變換 147
3.2.2 平面直角坐標系變換化簡二次曲線方程 150
3.2.3 平面上仿射坐標系變換化簡二次曲線方程 153
3.2.4 二次曲線的不變量及其方程的化簡 156
習題3.2 163
3.3 二次曲面方程的化簡165
3.3.1 空間中直角坐標系的變換.165
3.3.2 直角坐標變換化簡二次曲面方程 173
3.3.3 空間仿射坐標變換化簡二次曲面方程 177
3.3.4 二次曲面的不變量及其方程的簡化 179
習題3.3 182
3.4代數(shù)補充：向量空間中基變換和二次型 185
3.4.1 向量空間中基的變換與向量坐標變換公式 185
3.4.2 實二次型 188
第4章 二次曲線和二次曲面的幾何性質 194
4.1 二次曲線的幾何性質194
4.1.1 平面上二次曲線與直線的位置關系 194
4.1.2 二次曲線的仿射特征 196
4.1.3 二次曲線的度量特征 206
習題4.1 213
4.2 二次曲面的圖形 217
4.2.1 二次曲面的大致圖形 217
4.2.2 二次曲面的圓紋性 230
4.2.3 二次曲面的直紋性 240
習題4.2 248
4.3 二次曲面的幾何性質252
4.3.1 二次曲面的仿射特征 252
4.3.2 二次曲面的度量特征 262
習題4.3 265
第5章 歐氏幾何和仿射幾何初步 270
5.1 空間中的仿射變換群和等距變換群 270
5.1.1 空間和平面上的變換群 270
5.1.2 等距變換群 274
5.1.3 仿射變換群 276
習題5.1 280
5.2 仿射（等距）變換的基本定理 283
5.2.1 仿射變換和等距變換的決定的向量變換 283
5.2.2 仿射變換和等距變換的基本定理 288
5.2.3 仿射變換和等距變換的分解.291
5.2.4 仿射變換的變積系數(shù) 294
習題5.2 295
5.3 歐氏幾何和仿射幾何298
5.3.1 歐氏幾何簡介 298
5.3.2 仿射幾何簡介 301
5.3.3 仿射映射與等距映射 303
習題5.3 305
5.4 變換的坐標解析式 306
5.4.1 仿射變換和等距變換的坐標解析式 306
5.4.2 圖形在仿射變換下像的方程 313
5.4.3 仿射變換的變換矩陣的性質.317
習題5.4 322
5.5對稱、線性變換和群的基本概念 326
5.5.1 圖形的對稱與變換群的軌道 326
5.5.2 向量空間中的線性變換 329
5.5.3 群與子群的簡介 335
第6章 射影幾何初步 337
6.1 射影平面與射影變換群 337
6.1.1 射影平面 337
6.1.2 射影變換群 341
習題6.1 346
6.2 射影坐標 348
6.2.1 射影坐標系 348
6.2.2 射影坐標變換 354
習題6.2 357
6.3 射影映射和射影變換的基本定理 359
6.3.1 射影映射的基本定理 359
6.3.2 射影變換基本定理和變換公式 364
6.3.3 交比 368
6.3.4 調和點列和調和線束 374
6.3.5 對偶原理 376
習題6.3 377
6.4 二維射影幾何與二次曲線 381
6.4.1 二維射影幾何學簡介 381
6.4.2 二次曲線的切線 386
6.4.3 共軛與配極映射 388
6.4.4 幾個重要定理 392
習題6.4 395
6.5 高維射影幾何學簡介 397
參考文獻 404
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