在當今高等數學教育與學科競賽深度融合的時代，大學生數學競賽已成為錘煉數學思維、檢驗學術能力的重要試金石，更是推動數學教育創(chuàng)新與人才選拔的關鍵引擎。本書針對大學生數學競賽典型問題，系統展示了其各種求解方法，并且分層次分類別給出了綜合訓練題目。全書共10章，分為四部分。第一部分（第1—3章），給出了不同類型極限的各種求法，包括極限的基本求解方法、斯托爾茨定理及其應用，以及和式極限的求法與估計。第二部分（第4，5章），探討了高階導數的各種典型求法和微分中值定理及其應用。第三部分（第6—8章），展示了定積分和含參量定積分的各種求解方法，以及柯西-施瓦茨積分不等式及其應用。第四部分（第9，10章），分別研究了級數求和的各種方法以及漸近冪級數的復合及其應用。
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四川大學本科、碩士、博士，中國科技大學博士后
目錄
前言
第1章 極限的基本求解方法 1
1.1 預備知識 1
1.2 等價無窮小代換 2
1.2.1 化和差為乘積 4
1.2.2 湊成等價無窮小的形式 5
1.2.3 遞推求極限 5
1.3 洛必達法則 7
1.3.1 結合等價無窮小代換求解.8
1.3.2 先取對數 8
1.3.3 湊成分式再求導 9
1.4 海涅定理 10
1.4.1 指數對數型數列的極限 11
1.4.2 一類特殊平均極限的推廣 11
1.5 麥克勞林公式 13
1.5.1 相減的形式 16
1.5.2 湊成無窮小的情形 17
1.5.3 復合函數的麥克勞林展開 18
1.5.4 指數對數型函數的極限 19
1.5.5 指數對數型函數的漸近展開 20
1.6 分子、分母有理化 22
1.6.1 直接有理化 22
1.6.2 湊成分子有理化 22
1.7 迫斂性 23
1.7.1 最大、最小放縮 24
1.7.2 達布和放縮 26
1.7.3 利用常見不等式放縮 30
1.8 單調有界定理 32
1.8.1 平均數列與極限 35
1.8.2 平均值與圓周率 36
1.8.3 調和數與歐拉常數 36
1.8.4 零點的唯一性與漸近性 38
1.9 壓縮映像原理 40
1.10 沃利斯公式與斯特林公式 43
第1章 練習 46
第2章 斯托爾茨定理及其應用 51
2.1 預備知識 51
2.2 斯托爾茨定理 52
2.3 與均值相關的極限 58
2.4 與歐拉常數類似的和式極限 61
2.5 與整數冪和相關的極限 62
2.6 與分部求和公式相關的極限 63
2.7 無窮小迭代序列的漸近性 65
2.8 無窮大迭代序列的漸近性 69
2.9 遞推數列的漸近性 72
第2章 練習 73
第3章 和式極限的求法與估計 76
3.1 預備知識 76
3.2 和式極限的定積分求法 77
3.2.1 和式極限與定積分轉化的原理 77
3.2.2 乘積極限取對數轉化為和式極限 80
3.2.3 放縮法結合迫斂性 80
3.3 求和與極限交換次序 83
3.4 乘積和式極限的求法 86
3.5 和式極限的漸近估計 87
3.5.1 首次估計 88
3.5.2 兩項估計 90
3.5.3 歐拉-麥克勞林公式 91
3.6 和式極限的代換方法 93
3.6.1 無窮小等價代換 93
3.6.2 一致等價替換 95
3.6.3 和式的等價估計 100
第3章 練習 102
第4章 求高階導數的方法 104
4.1 預備知識 104
4.2 積分的求導 107
4.3 反函數求導 108
4.4 高階導數 110
4.4.1 先拆項后求導 110
4.4.2 用泰勒公式求導 111
4.4.3 用萊布尼茨公式求導 112
4.4.4 一些高階導數公式 114
4.4.5 遞推求導法 115
4.4.6 利用布魯諾公式求導 119
第4章 練習 120
第5章 微分中值定理及其應用 124
5.1 預備知識 124
5.2 構造輔助函數的方法127
5.2.1 原函數法 127
5.2.2 積分因子法 130
5.2.3 輔助函數構造形式歸納總結 133
5.2.4 行列式法 134
5.2.5 常數K值法 138
5.2.6 含有積分的輔助函數構造 142
5.3 利用中值證明不等式 142
5.4 用中值的估計求極限 145
5.4.1 增量形式 146
5.4.2 看成整體 146
5.4.3 脫外套 147
5.4.4 和式極限 148
5.4.5 含參量積分的極限 150
5.5 多中值點問題 152
5.5.1 可能相等的雙中值問題 153
5.5.2 不相等的多中值問題 153
5.6 中值的漸近性 160
5.7 零點的存在性與個數問題 161
第5章 練習 162
第6章 定積分的基本計算方法 169
6.1 預備知識 170
6.1.1 積分公式 170
6.1.2 三角恒等式 171
6.1.3 萬能置換公式 171
6.1.4 和差角公式 172
6.1.5 一些重要的定積分 172
6.2 換元法 173
6.2.1 根式代換 174
6.2.2 三角代換 175
6.2.3 區(qū)間分解 176
6.2.4 倒代換 177
6.2.5 綜合例題 178
6.3 對稱性法 180
6.4 分部積分法 181
6.4.1 基礎題型 182
6.4.2 綜合例題 183
6.4.3 反函數的原函數 185
6.5 有理函數拆分法 187
6.6 遞推法 188
6.6.1 常見的不定積分遞推公式 189
6.6.2 有關三角函數方冪的積分 191
6.6.3 可化為三角函數方冪的積分 192
6.6.4 有關正弦函數比的積分公式 194
6.7 區(qū)間再現公式 200
6.7.1 有關兩個函數乘積的積分公式 200
6.7.2 有關三個函數乘積的積分公式 207
6.8 級數解法 208
6.8.1 冪級數解法 208
6.8.2 傅里葉級數解法 210
6.9 綜合應用的典型案例 210
6.9.1 含對數函數的定積分 210
6.9.2 分段積分法 215
6.9.3 歐拉積分 217
6.9.4 羅巴切夫斯基積分法 219
第6章 練習.224
第7章 含參量的定積分 231
7.1 預備知識 231
7.2 含參量積分求導公式 233
7.3 求導與積分交換次序 234
7.3.1 費曼積分法 234
7.3.2 積分符號下微分法 239
7.4 二重積分交換次序法 243
7.4.1 傅茹蘭尼積分公式 243
7.4.2 積分號下積分法 247
7.5 歐拉積分 249
7.5.1 基本性質與應用 249
7.5.2 余元公式 252
7.6 其他經典積分 258
7.6.1 狄利克雷積分 258
7.6.2 高斯積分 262
7.6.3 菲涅爾積分 265
7.6.4 拉普拉斯積分 268
7.7 積分與極限交換次序 270
7.7.1 換次序的定理與應用 270
7.7.2 無需交換次序積分的極限 275
第7章 練習 276
第8章 柯西-施瓦茨積分不等式及其應用 279
8.1 預備知識 279
8.2 柯西-施瓦茨積分不等式 282
8.3 被積函數與其導數平方的積分不等式 285
8.4 奧爾不等式 288
8.5 被積函數與其倒數的積分不等式 289
8.6 利用重積分證明積分不等式 291
第8章 練習 292
第9章 求級數和的方法 295
9.1 預備知識 296
9.2 裂項相消法 299
9.2.1 有理形式 300
9.2.2 反正切余切函數 303
9.2.3 含有調和數的級數求和 304
9.3 用冪級數求和 305
9.3.1 求數項級數和的方法 305
9.3.2 利用逐項求積或求導求解 307
9.3.3 柯西乘積公式求和 308
9.3.4 利用冪級數證明恒等式 310
9.4 交錯級數求和 311
9.4.1 1級交錯級數的定積分表示 311
9.4.2 q級交錯級數的定積分表示 312
9.5 歐拉公式求和 313
9.5.1 正余弦數列求和 314
9.5.2 離散狄利克雷和 315
9.6 用傅里葉級數求和 317
9.6.1 利用二次函數的傅里葉級數求和 318
9.6.2 利用符號函數的傅里葉級數求和 319
9.6.3 利用指數函數的傅里葉級數求和 320
9.7 構造微分方程求解 320
9.7.1 數項級數之和 320
9.7.2 冪級數之和 321
9.7.3 遞推數列與生成函數 323
9.8 用二重積分計算二重級數 325
9.9 復合函數的冪級數展開 326
9.9.1 直接展開的方法 327
9.9.2 求導后逐項求積或求積后逐項求導 327
9.9.3 求導后利用冪級數法 328
9.10 綜合應用:解決巴塞爾問題的三種方法 330
9.11 綜合應用:積分與級數 336
第9章 練習 338
第10章 漸近冪級數的復合及其應用 343
10.1 預備知識 343
10.2 關于指數、對數、冪函數復合的漸近冪級數展開 345
10.3 三角函數復合的漸近冪級數展開 348
10.4 復指數函數復合的漸近冪級數展開 354
10.5 方程根的漸近分析 356
10.6 移位漸近冪級數的展開 359
第10章 練習 361
參考文獻 362
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