矩陣是應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具之一，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)性分支，它在科學(xué)、工程、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域都扮演著重要的角色。通過學(xué)習(xí)矩陣?yán)碚摚x者將會獲得處理高維數(shù)據(jù)、解決復(fù)雜系統(tǒng)、理解空間變換等能力，從而在各個領(lǐng)域中游刃有余地應(yīng)用所學(xué)的知識。在我國高等院校的理工科專業(yè)，一般在本科階段都會設(shè)置和矩陣?yán)碚撓嚓P(guān)的線性代數(shù)或高等代數(shù)課程，它們也是進(jìn)入研究生階段深造的 數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。
不過從諸多高校多年的教學(xué)實踐來看，學(xué)生普遍反映矩陣?yán)碚撾y學(xué)、難懂以及學(xué)了不知道有什么用。究其原因，除了矩陣?yán)碚摫旧眍H為抽象這一客觀原因以外，很多課程中對矩陣?yán)碚摰慕榻B往往很少有從具體到抽象的轉(zhuǎn)換，即缺乏將理性而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思想和感性的直觀認(rèn)知相結(jié)合這一過程，同時也未能和初等數(shù)學(xué)的諸多知識有機銜接。此外，有關(guān)矩陣?yán)碚摰慕虒W(xué)往往浮于表面，沒能進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生理解矩陣諸理論之間的本質(zhì)邏輯聯(lián)系。而實際上，矩陣?yán)碚摰膶W(xué)習(xí)起點是很低的，即稍有中小學(xué)階段的初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)即可開始學(xué)習(xí)，并逐步由淺入深地理解矩陣及其重要的作用。因此筆者認(rèn)為，要引導(dǎo)學(xué)生掌握矩陣這一重要工具，在教學(xué)中需以初等數(shù)學(xué)作為切入點，同時由淺入深地以一定的邏輯，慢慢從具象、感性的直觀視角過渡到抽象、理性的代數(shù)認(rèn)知。對于國內(nèi)的學(xué)生來講，一本合適的中文教材在此過程中是不可或缺的。
本書共包括16章，內(nèi)容涵蓋了從基本概念到高級運算技巧的諸多方面，旨在以通俗易懂的語言詳細(xì)講解矩陣?yán)碚摗Ｆ渲械?章以初等數(shù)學(xué)為起點引出矩陣； 第2~14章是本書的主體部分，主要包括矩陣的概念、線性方程組、矩陣運算、線性映射與線性變換、行列式、向量空間、特征值與特征向量、相似矩陣、二次型等重要理論； 第15章介紹了矩陣?yán)碚撛跈C器學(xué)習(xí)中的簡單應(yīng)用，借此拋磚引玉，以供機器學(xué)習(xí)方面的研究者參考和進(jìn)一步學(xué)習(xí)； 第16章介紹了矩陣?yán)碚摰臍v史發(fā)展，并給出使用本書的讀者在未來學(xué)習(xí)中的建議。
本書在講解矩陣?yán)碚撝R的同時配有相當(dāng)數(shù)量的例題，每章末還附有一定數(shù)量的習(xí)題，以幫助讀者在鞏固所學(xué)知識的同時，深化對理論知識的理解。與此同時，本書還具有針對性地融入了一些常見的應(yīng)試技巧，以便需要應(yīng)試的讀者在深入理解和掌握理論知識的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高解題能力。此外，第2~14章的最后一節(jié)均為MATLAB編程實踐內(nèi)容，有工程實踐需求的讀者可以使用MATLAB編程工具將本章所學(xué)到的矩陣?yán)碚撏ㄟ^相關(guān)函數(shù)或程序加以實現(xiàn)，這不僅能深化本章知識的理解，還能熟悉MATLAB工具的使用。本書還配有Python代碼和配套的視頻講解，可以掃描下方的二維碼獲取。本書可作為國內(nèi)相關(guān)理工科學(xué)生學(xué)習(xí)矩陣的教材，也可作為以線性代數(shù)高等代數(shù)等課程為應(yīng)試科目的基礎(chǔ)復(fù)習(xí)用書，還可供相關(guān)工程實踐從業(yè)人員閱讀和參考。
在本書的編寫過程中，我們參閱了國內(nèi)外的大量優(yōu)秀教材以及相關(guān)資料，在此向其作者由衷地表示感謝！
由于編者水平有限，書中難免有疏漏之處，懇請廣大讀者批評指正。
編者2024年12月于西安
Python代碼
視頻講解
第1章從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)
習(xí)題1
第2章矩陣是什么
2．1面包機里的學(xué)問
2．2矩陣的基本運算
2．3是矩陣，也是映射
2．3．1映射的概念和實例
2．3．2矩陣的映射屬性
2．3．3線性映射
2．4編程實踐： MATLAB和矩陣
習(xí)題2
第3章線性方程組
3．1從二元一次方程組說起
3．1．1齊次線性方程組
3．1．2非齊次線性方程組
3．1．3線性方程組的矩陣表示
3．2高斯消元法和矩陣初等行變換
3．2．1方程組的整體等價變換與高斯消元法
3．2．2矩陣的初等行變換和階梯矩陣
3．3齊次方程組的求解
3．3．1通解的概念
3．3．2齊次方程組解的判斷
3．3．3非零解和基礎(chǔ)解系
3．3．4主變量和自由變量
3．3．5齊次方程組的求解步驟
3．4非齊次方程組的求解
3．4．1增廣矩陣
3．4．2非齊次方程組解的判斷
3．4．3具有無窮解方程組的通解
3．4．4非齊次方程組的求解步驟
3．5初識矩陣的秩
3．5．1秩的概念與求法
3．5．2矩陣秩的基本性質(zhì)
3．5．3特殊矩陣的秩
3．6線性方程組理論的應(yīng)用
3．6．1含有參數(shù)的線性方程組問題
3．6．2線性方程組和空間解析幾何
3．6．3使用線性方程組配平化學(xué)方程式
3．6．4使用線性方程組求解牛吃草問題
3．7編程實踐： MATLAB求解線性方程組
習(xí)題3
第4章矩陣乘法
4．1矩陣乘法： 線性映射的復(fù)合法則
4．1．1再從線性方程組說起
4．1．2矩陣乘法運算法則
4．1．3左乘和右乘
4．1．4矩陣乘法的條件
4．2矩陣乘法代數(shù)表示及性質(zhì)
4．2．1矩陣乘法代數(shù)表示的推導(dǎo)
4．2．2矩陣乘法的基本性質(zhì)
4．3特殊矩陣的乘法
4．3．1含有零矩陣的乘法
4．3．2含有對角陣和單位陣的乘法
4．3．3向量之間的乘法
4．3．4可交換矩陣的乘法
4．4矩陣乘法的拓展
4．4．1轉(zhuǎn)置矩陣的乘法
4．4．2矩陣乘方
4．4．3矩陣多項式
4．5矩陣乘法的應(yīng)用： Kappa系數(shù)計算式的推導(dǎo)
4．5．1Kappa系數(shù)
4．5．2Kappa系數(shù)的矩陣表達(dá)公式
4．5．3Kappa系數(shù)計算舉例
4．6編程實踐： MATLAB實現(xiàn)矩陣乘法
習(xí)題4
第5章逆矩陣
5．1矩陣乘法和初等變換的紐帶： 初等矩陣
5．1．1初等變換
5．1．2初等矩陣
5．1．3矩陣的連續(xù)初等變換
5．2矩陣的倒數(shù)： 逆矩陣
5．2．1逆矩陣的概念
5．2．2逆矩陣的存在條件
5．2．3逆矩陣與逆映射
5．2．4逆矩陣的性質(zhì)
5．3逆矩陣的求法
5．3．1初等行變換法求逆矩陣
5．3．2特殊矩陣的逆矩陣
5．4逆矩陣的拓展與延伸
5．4．1抽象矩陣的逆矩陣問題
5．4．2簡單矩陣方程的求解
5．5編程實踐： MATLAB求逆矩陣
習(xí)題5
第6章線性映射和線性變換
6．1再談矩陣的映射屬性
6．1．1復(fù)習(xí)與延伸： 映射及其分類
6．1．2矩陣的映射屬性
6．2平面上的線性變換
6．2．1復(fù)習(xí)： 平面向量基本定理
6．2．2平面線性變換
6．2．3單位正方形的變化和變換比例系數(shù)
6．3編程實踐： 平面圖形的變換和討論
習(xí)題6
第7章行列式
7．1行列式的基本運算和化簡
7．1．12階、3階行列式的運算
7．1．2三角行列式和初等變換化簡
7．1．3n階行列式的計算
7．2行列式的降階和展開
7．2．1行列式左上角元素降階
7．2．2行列式一般元素的降階
7．2．3行列式按行按列展開
7．2．4行列式展開公式的進(jìn)一步討論
7．3行列式的綜合計算方法與技巧
7．4行列式在矩陣?yán)碚撋系膽?yīng)用
7．4．1行列式和矩陣乘法
7．4．2行列式和矩陣的秩
7．4．3行列式和線性方程組
7．4．4行列式和逆矩陣
7．4．5零值行列式結(jié)論匯總
7．5編程實踐： MATLAB計算行列式
習(xí)題7
第8章分塊矩陣
8．1將大矩陣切成小矩陣
8．1．1矩陣分塊初體驗
8．1．2矩陣的幾種分塊方式
8．2分塊矩陣的運算
8．2．1分塊矩陣的轉(zhuǎn)置
8．2．2分塊矩陣的加減法和數(shù)乘
8．2．3分塊矩陣的乘法
8．2．4分塊矩陣的求逆
8．2．5分塊矩陣的行列式計算
8．3分塊初等變換
8．3．1分塊矩陣的初等變換
8．3．2分塊初等矩陣
8．4編程實踐： MATLAB實現(xiàn)矩陣的分塊與合并
習(xí)題8
第9章矩陣的秩
9．1矩陣的秩： 深度刻畫
9．1．1由線性映射刻畫矩陣的秩
9．1．2由行列式刻畫矩陣的秩
9．2矩陣秩的性質(zhì)
9．3矩陣的秩性質(zhì)應(yīng)用
9．4編程實踐： MATLAB計算矩陣的秩
習(xí)題9
第10章伴隨矩陣
10．1伴隨矩陣及其構(gòu)建
10．1．12階方陣的伴隨矩陣
10．1．2任意方陣伴隨矩陣的構(gòu)建
10．1．3逆矩陣的另一種構(gòu)建方式
10．1．4關(guān)于伴隨矩陣的術(shù)語說明
10．2伴隨矩陣十大公式
10．2．1伴隨矩陣公式推導(dǎo)
10．2．2伴隨矩陣十大公式匯總
10．3伴隨矩陣公式應(yīng)用
10．4克拉默法則
10．5編程實踐： MATLAB計算伴隨矩陣
習(xí)題10
第11章矩陣、向量和空間
11．1多維空間向量基本定理
11．1．1平面向量基本定理的矩陣分析
11．1．2更高維度空間向量的基本定理
11．2線性無關(guān)和線性相關(guān)
11．2．1線性無關(guān)和線性相關(guān)的概念和意義
11．2．2線性無關(guān)和線性相關(guān)的拓展與應(yīng)用
11．2．3線性無關(guān)和線性相關(guān)的性質(zhì)總結(jié)
11．3向量組及其表示空間
11．3．1向量組的秩和極大線性無關(guān)組
11．3．2等價向量組
11．4單位正交基向量組
11．4．1復(fù)習(xí)與延伸： 數(shù)量積、正交與單位向量
11．4．2單位正交基向量組
11．4．3格拉姆施密特正交化
11．4．4正交矩陣
11．5空間的基變換和坐標(biāo)變換
11．5．1基向量和坐標(biāo)
11．5．2基變換和坐標(biāo)變換
11．6編程實踐： 有關(guān)向量組的綜合任務(wù)
習(xí)題11
第12章特征值和特征向量
12．1特征值和特征向量的概念
12．1．1對角陣的特征值和特征向量
12．1．2一般方陣的特征值和特征向量
12．1．3特征值和特征向量的代數(shù)定義
12．2特征值和特征向量的計算
12．3特征值和特征向量的性質(zhì)
12．3．1單根、重根特征值的性質(zhì)
12．3．2特征值的和與積
12．3．3關(guān)聯(lián)矩陣的特征值和特征向量
12．3．4凱萊哈密爾頓定理
12．4特征值和特征向量舉例應(yīng)用
12．5編程實踐： MATLAB計算特征值和特征向量
習(xí)題12
第13章相似矩陣與相似對角化
13．1相似矩陣
13．1．1相似矩陣的概念和意義
13．1．2相似矩陣的性質(zhì)
13．2相似對角化
13．2．1相似對角化的概念和意義
13．2．2相似對角化的條件和計算
13．2．3相似對角化的應(yīng)用
13．3實對稱矩陣
13．3．1實對稱矩陣的特征值和特征向量
13．3．2實對稱矩陣的相似對角化
13．3．3實對稱矩陣綜合舉例
13．4編程實踐： MATLAB實現(xiàn)相似對角化
習(xí)題13
第14章二次型
14．1二次型及其矩陣表示
14．1．1多元二次函數(shù)和二次型
14．1．2二次型的矩陣表示
14．2合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
14．2．1合同變換與合同對角化
14．2．2配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
14．2．3正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
14．3二次型和圓錐曲線、二次曲面
14．3．1二次型和平面圓錐曲線
14．3．2二次型和空間二次曲面
14．4規(guī)范形和正定、負(fù)定二次型
14．4．1二次型的規(guī)范形和慣性指數(shù)
14．4．2正定二次型和負(fù)定二次型
14．4．3順序主子式判定法則
14．5編程實踐： 二次型的綜合任務(wù)
習(xí)題14
第15章機器學(xué)習(xí)中的矩陣基礎(chǔ)
15．1多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、極值和優(yōu)化
15．1．1多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 梯度和海森矩陣
15．1．2多元函數(shù)極值求法
15．1．3梯度和海森矩陣優(yōu)化算法
15．2最小二乘法
15．2．1散點的線性擬合問題舉例
15．2．2向量函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)
15．2．3最小二乘法公式推導(dǎo)
15．3主成分分析法(PCA)
15．3．1數(shù)據(jù)的降維壓縮
15．3．2主成分分析基本原理
15．3．3主成分分析基本步驟和實例
15．4奇異值分解（SVD）
15．4．1矩陣和線性映射的分解
15．4．2奇異值分解的計算方法
15．4．3奇異值分解在圖像處理中的應(yīng)用
習(xí)題15
第16章矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展與未來
16．1矩陣?yán)碚摰钠鹪春桶l(fā)展
16．2矩陣?yán)碚摰膶W(xué)習(xí)和進(jìn)階
習(xí)題16
附錄A數(shù)理邏輯及證明基礎(chǔ)知識
A.1命題邏輯
A.2充分條件和必要條件
A.3數(shù)學(xué)證明常用方法
A.3.1反證法
A.3.2分析法
A.3.3數(shù)學(xué)歸納法
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