目 錄

第1章 引論1
1.1 誤差來源2
1.2 誤差分析4
1.3 有效數(shù)字7
1.4 數(shù)值穩(wěn)定性分析13
1.4.1 函數(shù)運(yùn)算誤差13
1.4.2 算術(shù)運(yùn)算誤差14
1.4.3 數(shù)值穩(wěn)定性的概念15
1.4.4 減小運(yùn)算誤差17
1.5 秦九韶算法21
擴(kuò)展閱讀1：中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的追趕與超越22
擴(kuò)展閱讀2：測量誤差帶來的事故和災(zāi)難24
思考題24
第2章 非線性方程的數(shù)值解法27
2.1 初始近似值的搜索27
2.1.1 方程的根27
2.1.2 逐步搜索法28
2.1.3 區(qū)間二分法29
2.2 迭代法31
2.2.1 迭代原理31
2.2.2 迭代的收斂性32
2.2.3 迭代過程的收斂速度35
2.3 牛頓迭代法36
2.3.1 牛頓迭代法迭代公式的建立36
2.3.2 牛頓迭代法的收斂情況38
2.4 工程案例分析39
擴(kuò)展閱讀：牛頓迭代法40
思考題40

第3章 線性方程組的數(shù)值解法41
3.1 高斯消去法42
3.1.1 順序高斯消去法42
3.1.2 選主元高斯消去法49
3.1.3 高斯-若爾當(dāng)消去法51
3.2 矩陣三角分解法53
3.2.1 高斯消去法的矩陣描述53
3.2.2 矩陣的直接三角分解55
3.2.3 用矩陣三角分解法解線性方程組56
3.2.4 追趕法61
3.3 迭代法63
3.4 工程案例分析68
擴(kuò)展閱讀：數(shù)學(xué)家高斯76
思考題77
第4章 插值法81
4.1 代數(shù)插值81
4.2 拉格朗日插值83
4.2.1 拉格朗日插值多項式83
4.2.2 線性插值與拋物線插值84
4.2.3 拉格朗日插值余項與誤差86
4.3 牛頓插值89
4.3.1 差商及其性質(zhì)89
4.3.2 牛頓插值公式91
4.4 工程案例分析93
思考題95
第5章 曲線擬合的最小二乘法97
5.1 最小二乘法97
5.1.1 最小二乘原理97
5.1.2 直線擬合100
5.1.3 超定方程組的最小二乘解101
5.1.4 可線性化模型的最小二乘擬合102
5.1.5 多變量的數(shù)據(jù)擬合104
5.1.6 多項式擬合106
5.2 工程案例分析108
擴(kuò)展閱讀：最小二乘法111
思考題112
第6章 數(shù)值積分與數(shù)值微分114
6.1 數(shù)值積分115
6.1.1 數(shù)值積分的基本思想115
6.1.2 代數(shù)精度116
6.1.3 插值求積公式117
6.1.4 構(gòu)造插值求積公式的步驟119
6.2 牛頓-柯特斯公式119
6.2.1 公式的導(dǎo)出119
6.2.2 牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度123
6.2.3 梯形公式和辛普森公式的插值余項124
6.2.4 牛頓-柯特斯公式的穩(wěn)定性126
6.3 復(fù)化求積法127
6.3.1 復(fù)化梯形公式127
6.3.2 復(fù)化辛普森公式128
6.4 變步長梯形求積法和龍貝格算法130
6.4.1 變步長梯形求積法130
6.4.2 龍貝格算法133
6.5 數(shù)值微分135
6.5.1 機(jī)械求導(dǎo)法136
6.5.2 插值求導(dǎo)公式137
6.6 工程案例分析140
擴(kuò)展閱讀1：龍貝格算法142
擴(kuò)展閱讀2：中國古代的微積分計算142
思考題143
第7章 常微分方程初值問題的數(shù)值解法145
7.1 歐拉法146
7.1.1 歐拉公式146
7.1.2 兩步歐拉公式150
7.1.3 梯形法151
7.1.4 改進(jìn)歐拉法152
7.2 龍格-庫塔法154
7.2.1 泰勒級數(shù)展開法154
7.2.2 龍格-庫塔法的基本思路155
7.2.3 二階龍格-庫塔法和三階龍格-庫塔法156
7.2.4 經(jīng)典龍格-庫塔法157
7.2.5 隱式龍格-庫塔法160
7.3 工程案例分析161
擴(kuò)展閱讀：秦九韶《數(shù)書九章》中的計算方法162
思考題163
附錄A 實驗165
實驗一 秦九韶算法165
實驗二 區(qū)間二分法166
實驗三 迭代法167
實驗四 牛頓迭代法169
實驗五 列選主元法170
實驗六 矩陣三角分解法172
實驗七 線性方程組的迭代法174
實驗八 拉格朗日插值177
實驗九 牛頓插值178
實驗十 龍貝格算法180
實驗十一 歐拉法181
實驗十二 四階龍格-庫塔法182
參考文獻(xiàn)184