第一章曲線和曲面的局部理論 1.1 空間曲線理論 1.2 曲面 1.3 Gauss 映射及其微分 1.4 第二基本形式之代數(shù) 1.5 第二基本形式之幾何 1.6 曲率之局部坐標(biāo)計(jì)算 1.7 Gauss 映射像的面積 1.8 Fenchel, Fary-Milnor 定理 第一章練習(xí) 第二章曲面內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué) 2.1 Gauss 絕妙定理 2.2 協(xié)變導(dǎo)數(shù)、平行移動(dòng) 2.3 測(cè)地線 2.4 Gauss-Bonnet 公式 2.5 指數(shù)映射 2.6 測(cè)地完備、Hopf-Rinow 定理 2.7 抽象曲面 *2.8 常曲率空間分類(lèi) 2.8.1 內(nèi)蘊(yùn)分類(lèi) 2.8.2 外蘊(yùn)分類(lèi): 常Gauss 曲率曲面 2.8.3 外蘊(yùn)分類(lèi): 常平均曲率曲面 *2.9 帶符號(hào)曲率曲面簡(jiǎn)介 2.9.1 正曲率: Bonnet 定理 2.9.2 非正曲率: Hadamard 定理 第二章練習(xí) 第三章光滑流形 3.1 流形 3.2 切空間 3.3 向量場(chǎng) 3.4 分布、Frobenius 定理 3.5 微分形式 3.5.1 微分形式之代數(shù) 3.5.2 微分形式之分析 3.6 de Rham 上同調(diào) 3.6.1 同倫不變性 3.6.2 Mayer-Vietoris 序列 3.7 積分和Stokes 定理 *3.8 de Rham 定理簡(jiǎn)介 3.8.1 奇異同調(diào) 3.8.2 de Rham 定理 *3.9 Hodge 定理簡(jiǎn)介 第三章練習(xí) 附錄A 分析、代數(shù)工具 A.1 二次型 A.2 反函數(shù)定理 A.3 單位分解 A.4 曲面特殊參數(shù)化的存在性 附錄B 拓?fù)涫聦?shí) B.1 旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理 B.2 Jordan 曲線定理 B.3 閉曲面拓?fù)浞诸?lèi) B.4 基本群 B.5 覆蓋映射 參考文獻(xiàn)