定 價：56 元
叢書名：“101計劃”核心教材數(shù)學(xué)領(lǐng)域
- 作者：柳彬,肖冬梅,張偉年 編著
- 出版時間：2025/7/1
- ISBN：9787301364840
- 出 版 社：北京大學(xué)出版社
- 中圖法分類：O175
- 頁碼：300
- 紙張：
- 版次：1
- 開本：16開
本書是按照教育部數(shù)學(xué)“101 計劃”核心教材的要求為高等學(xué)校本科生精心編寫的“常微分方程”課程教材, 主要介紹常微分方程初步知識, 內(nèi)容包括基本概念、初等積分法、線性微分系統(tǒng)、一般理論、邊值問題、定性理論初步等，涉及高階線性微分方程與一階線性微分方程組的通解結(jié)構(gòu)和特征理論、非線性微分方程解的存在性和唯 一性、解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性及可微性、平衡點的穩(wěn)定性及其附近軌道的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、周期軌道的存在性、雙曲系統(tǒng)的線性化及結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等方面.
本書注重聯(lián)系實際，通過機械、生態(tài)、經(jīng)濟等領(lǐng)域中的微分方程建模介紹微分方程的基本概念；同時，也注重迎合新世紀(jì)學(xué)科發(fā)展趨勢，將變量分離微分方程和恰當(dāng)方程等古典內(nèi)容同現(xiàn)代可積理論相結(jié)合，將線性微分系統(tǒng)一般理論延伸到周期系數(shù)微分系統(tǒng)的Floquet 理論，將解存在性和唯 一性的基礎(chǔ)理論同解的數(shù)值逼近方法聯(lián)系起來，并由此引出動力系統(tǒng)的定性分析. 另外，本書通過介紹周期軌道是否不存在的判據(jù)讓讀者了解中國學(xué)者對著名的Hilbert 第16 問題的重要貢獻(xiàn)，通過介紹線性化理論展現(xiàn)特征值分析對判斷定性性質(zhì)的重要作用.
本書以培養(yǎng)建立、理解、分析、計算微分方程并用于解決實際問題的能力為目標(biāo)，適用于數(shù)學(xué)專業(yè)本科生，也可供實驗、工程學(xué)科的學(xué)生、教師和科研人員參考和使用.
柳彬
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柳 彬 北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師，北京市教學(xué)名師. 主要從事常微分方程定性理論研究. 2001年獲教育部青年教師獎，2001年獲中國高校自然科學(xué)獎一等獎，2003年國家杰出青年基金獲得者。在常微分方程領(lǐng)域發(fā)表文章四十余篇.
肖冬梅
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肖冬梅 上海交通大學(xué)教授（二級崗）、博士生導(dǎo)師，國家杰出青年基金獲得者。主要從事微分方程與動力系統(tǒng)教學(xué)與研究，在微分方程定性與分岔理論及其在生物數(shù)學(xué)中的應(yīng)用開展工作。
張偉年
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張偉年 四川大學(xué)教授（二級崗）、博士生導(dǎo)師，國家杰出青年基金獲得者。他從事微分方程與動力系統(tǒng)教學(xué)與研究，在光滑線性化與含參正規(guī)形理論、退化奇點及退化同宿軌分岔、迭代與差分系統(tǒng)動力學(xué)開展工作。
第一章 基本概念1
1.1 微分方程模型2
習(xí)題1.1 7
1.2 微分方程概念7
習(xí)題1.2 11
1.3 微分方程形式12
習(xí)題1.3 15
第二章 初等積分法17
2.1 變量分離的微分方程18
習(xí)題2.1 25
2.2 一階線性微分方程26
習(xí)題2.2 33
2.3 全微分方程34
習(xí)題2.3 42
2.4 隱式微分方程42
習(xí)題2.4 46
2.5 一階微分方程組47
習(xí)題2.5 57
2.6 應(yīng)用問題舉例58
2.6.1 傳染病傳播問題58
2.6.2 等角軌線問題62
2.6.3 天體力學(xué)中的二體問題65
習(xí)題2.6 70
第三章 線性微分系統(tǒng)71
3.1 一般理論72
3.1.1 預(yù)備知識73
3.1.2 解的全局存在性與唯一性76
3.1.3 齊次線性微分系統(tǒng)解的結(jié)構(gòu)80
3.1.4 非齊次線性微分系統(tǒng)解的結(jié)構(gòu)87
習(xí)題3.1 92
3.2 常系數(shù)線性微分系統(tǒng)94
3.2.1 常系數(shù)線性微分系統(tǒng)的求解95
3.2.2 常系數(shù)齊次線性微分系統(tǒng)解的性質(zhì)104
習(xí)題3.2 110
3.3 周期系數(shù)線性微分系統(tǒng)112
習(xí)題3.3 120
3.4 高階線性微分方程120
3.4.1 解的性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)122
3.4.2 高階常系數(shù)線性微分方程的求解128
習(xí)題3.4 138
第四章 微分方程一般理論141
4.1 準(zhǔn)備知識142
習(xí)題4.1 146
4.2 n 維線性空間中的微分方程146
4.3 Picard 定理147
習(xí)題4.3 155
4.4 Peano 定理155
習(xí)題4.4 160
4.5 解的延伸161
習(xí)題4.5 164
4.6 比較定理165
習(xí)題4.6 172
4.7 解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性172
習(xí)題4.7 177
4.8 解對初值和參數(shù)的連續(xù)可微性177
習(xí)題4.8 182
4.9 奇解183
習(xí)題4.9 192
第五章 邊值問題193
5.1 Sturm 比較定理194
習(xí)題5.1 200
5.2 Sturm-Liouville 邊值問題201
習(xí)題5.2 208
5.3 特征函數(shù)系的正交性209
5.4 周期邊值問題212
習(xí)題5.4 221
第六章 定性理論初步223
6.1 軌道與動力系統(tǒng)224
6.1.1 不變集與極限集228
6.1.2 向量場的等價類231
6.2 Lyapunov 穩(wěn)定性234
6.2.1 按線性近似判斷穩(wěn)定性236
6.2.2 Lyapunov 第二方法242
習(xí)題6.2 245
6.3 平面平衡點與極限環(huán)246
6.3.1 平面平衡點分類246
6.3.2 極限環(huán)的存在性255
習(xí)題6.3 259
6.4 雙曲性與線性化260
習(xí)題6.4 271
6.5 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性271
習(xí)題6.5 276
名詞索引277
參考文獻(xiàn)282
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