目錄
叢書序
前言
第1章 測度論
1.1 測度的定義與基本性質 3
1.1.1 外測度的基本性質 5
1.1.2 σ-代數, 正測度與 Borel 測度 8
1.1.3 π-系統(tǒng)與 λ-系統(tǒng) 11
1.2 Radon 測度 12
1.2.1 Radon測度的逼近性質 14
1.2.2 Lebesgue測度是 Radon 測度 17
1.3 可測函數 19
1.3.1 定義與基本性質 19
1.3.2 Egoroff定理與Lusin定理 23
1.3.3 依測度收斂 27
1.4 積分與極限 30
1.4.1 積分的定義與基本性質 30
1.4.2 極限與積分交換次序定理 31
1.5 正測度表示定理 38
1.6 Fubini定理 43
1.7 覆蓋定理 51
1.7.1 Vitali覆蓋引理 52
1.7.2 Besicovitch覆蓋定理 55
1.8 Radon-Nikodym-Lebesgue分解定理 57
1.8.1 Radon測度的導數 57
1.8.2 Radon-Nikodym-Lebesgue定理 59
1.9 Lebesgue微分定理與 Hardy-Littlewood極大函數 62
1.9.1 Lebesgue微分定理 62
1.9.2 Hardy-Littlewood極大函數 64
本章小結 65
測度論與函數空間講義
第2章 Lp空間與實測度空間
2.1 Lp空間的定義 68
2.1.1 H？lder不等式與Minkowski不等式 69
2.1.2 完備性 72
2.1.3 分布積分公式 75
2.2 Lp空間的基本性質 77
2.2.1 延拓性與單調性 77
2.2.2 稠密性 77
2.3 實測度空間 80
2.3.1 定義與基本性質 80
2.3.2 實測度的Radon-Nikodym-Lebesgue分解 83
2.4 *空間的對偶空間 85
2.5 *的對偶空間 90
2.6 L^p 空間的弱緊性 95
2.7 Hardy-Littlewood定理 98
本章小結 100
第3章 Sobolev空間
3.1 預備知識 102
3.1.1 整數階光滑函數空間 102
3.1.2 磨光算子 104
3.1.3 光滑截斷函數與光滑單位分解 106
3.1.4 區(qū)域邊界的光滑性 107
3.1.5 空間嵌入 108
3.2 H？lder連續(xù)函數空間 109
3.3 Sobolev空間的定義及性質 111
3.3.1 弱導數的定義 111
3.3.2 Sobolev 空間的定義 113
3.3.3 弱導數的基本性質 116
3.4 光滑逼近 119
3.4.1 局部逼近與整體逼近 120
3.4.2 稠密性 124
3.5 有界延拓定理 125
3.5.1 延拓原理 125
3.5.2 一般區(qū)域上的延拓 127
3.6 跡定理 130
3.6.1 Sobolev函數存在自然定義的邊值 130
3.6.2 零邊值Sobolev函數 132
3.7 嵌入定理 134
3.7.1 Sobolev嵌入定理 134
3.7.2 Morrey嵌入定理 139
3.7.3 *的嵌入 144
3.7.4 高階Sobolev空間嵌入定理 147
3.8 緊嵌入定理 148
3.9 *空間的刻畫 151
3.9.1 逆與有界延拓 151
3.9.2 *的等價刻畫 153
3.10 Poincaré不等式 154
3.11 其他Sobolev空間 155
3.11.1 分數階Sobolev空間 155
3.11.2 *空間 156
3.12 Sobolev空間在偏微分方程中的應用舉例 157
本章小結 159
參考文獻