目錄
叢書(shū)序
前言
第1章 測(cè)度論
1.1 測(cè)度的定義與基本性質(zhì) 3
1.1.1 外測(cè)度的基本性質(zhì) 5
1.1.2 σ-代數(shù), 正測(cè)度與 Borel 測(cè)度 8
1.1.3 π-系統(tǒng)與 λ-系統(tǒng) 11
1.2 Radon 測(cè)度 12
1.2.1 Radon測(cè)度的逼近性質(zhì) 14
1.2.2 Lebesgue測(cè)度是 Radon 測(cè)度 17
1.3 可測(cè)函數(shù) 19
1.3.1 定義與基本性質(zhì) 19
1.3.2 Egoroff定理與Lusin定理 23
1.3.3 依測(cè)度收斂 27
1.4 積分與極限 30
1.4.1 積分的定義與基本性質(zhì) 30
1.4.2 極限與積分交換次序定理 31
1.5 正測(cè)度表示定理 38
1.6 Fubini定理 43
1.7 覆蓋定理 51
1.7.1 Vitali覆蓋引理 52
1.7.2 Besicovitch覆蓋定理 55
1.8 Radon-Nikodym-Lebesgue分解定理 57
1.8.1 Radon測(cè)度的導(dǎo)數(shù) 57
1.8.2 Radon-Nikodym-Lebesgue定理 59
1.9 Lebesgue微分定理與 Hardy-Littlewood極大函數(shù) 62
1.9.1 Lebesgue微分定理 62
1.9.2 Hardy-Littlewood極大函數(shù) 64
本章小結(jié) 65
測(cè)度論與函數(shù)空間講義
第2章 Lp空間與實(shí)測(cè)度空間
2.1 Lp空間的定義 68
2.1.1 H？lder不等式與Minkowski不等式 69
2.1.2 完備性 72
2.1.3 分布積分公式 75
2.2 Lp空間的基本性質(zhì) 77
2.2.1 延拓性與單調(diào)性 77
2.2.2 稠密性 77
2.3 實(shí)測(cè)度空間 80
2.3.1 定義與基本性質(zhì) 80
2.3.2 實(shí)測(cè)度的Radon-Nikodym-Lebesgue分解 83
2.4 *空間的對(duì)偶空間 85
2.5 *的對(duì)偶空間 90
2.6 L^p 空間的弱緊性 95
2.7 Hardy-Littlewood定理 98
本章小結(jié) 100
第3章 Sobolev空間
3.1 預(yù)備知識(shí) 102
3.1.1 整數(shù)階光滑函數(shù)空間 102
3.1.2 磨光算子 104
3.1.3 光滑截?cái)嗪瘮?shù)與光滑單位分解 106
3.1.4 區(qū)域邊界的光滑性 107
3.1.5 空間嵌入 108
3.2 H？lder連續(xù)函數(shù)空間 109
3.3 Sobolev空間的定義及性質(zhì) 111
3.3.1 弱導(dǎo)數(shù)的定義 111
3.3.2 Sobolev 空間的定義 113
3.3.3 弱導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì) 116
3.4 光滑逼近 119
3.4.1 局部逼近與整體逼近 120
3.4.2 稠密性 124
3.5 有界延拓定理 125
3.5.1 延拓原理 125
3.5.2 一般區(qū)域上的延拓 127
3.6 跡定理 130
3.6.1 Sobolev函數(shù)存在自然定義的邊值 130
3.6.2 零邊值Sobolev函數(shù) 132
3.7 嵌入定理 134
3.7.1 Sobolev嵌入定理 134
3.7.2 Morrey嵌入定理 139
3.7.3 *的嵌入 144
3.7.4 高階Sobolev空間嵌入定理 147
3.8 緊嵌入定理 148
3.9 *空間的刻畫(huà) 151
3.9.1 逆與有界延拓 151
3.9.2 *的等價(jià)刻畫(huà) 153
3.10 Poincaré不等式 154
3.11 其他Sobolev空間 155
3.11.1 分?jǐn)?shù)階Sobolev空間 155
3.11.2 *空間 156
3.12 Sobolev空間在偏微分方程中的應(yīng)用舉例 157
本章小結(jié) 159
參考文獻(xiàn)