引言
自20世紀(jì)80年代以來(lái)，解題、推理和批判性思維一直是美國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容，隨后也成為全世界許多地方的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容。事實(shí)上，早在1977年，美國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)督導(dǎo)委員會(huì)（National Council of Supervisors of Mathematics）就提出：學(xué)會(huì)解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要?jiǎng)訖C(jī)。畢竟，如果一個(gè)人不知道什么時(shí)候去做某件事（代數(shù)），那知道了如何去做這件事又有什么用呢？解題運(yùn)動(dòng)一直不斷地高漲，逐漸包含了數(shù)學(xué)研究的很大一部分，甚至延伸到日常生活中面臨的各種問(wèn)題。即使是一個(gè)看似很簡(jiǎn)單的問(wèn)題比如過(guò)馬路：當(dāng)我們從一個(gè)國(guó)家到另一個(gè)國(guó)家，而這兩個(gè)國(guó)家要求汽車在道路的不同側(cè)行駛時(shí)，這個(gè)問(wèn)題就會(huì)變得復(fù)雜，需要明確地思考。
在開(kāi)始談?wù)摻忸}之前，我們應(yīng)該先確定是什么構(gòu)成了題目。題目是個(gè)人所面臨的一種需要解決的情況，但對(duì)此沒(méi)有現(xiàn)成的解決辦法。注意，這里的短語(yǔ)是沒(méi)有現(xiàn)成的解決辦法。畢竟，當(dāng)我們中的許多人在美國(guó)上學(xué)時(shí)，學(xué)校里教我們解的那些題目往往是類型化的。也就是說(shuō)，年齡問(wèn)題用一種方法解決，運(yùn)動(dòng)問(wèn)題用另一種方法解決，還有混合問(wèn)題液體測(cè)量問(wèn)題等，每一類題目都是用一種特定的方法去解決的。事實(shí)上，一旦我們學(xué)會(huì)了恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ�這些題目甚至不能算作真正解題意義上的題目。我們要做的只是識(shí)別出題目的特定類型，再應(yīng)用合適的、不假思索的過(guò)程去演算。
數(shù)學(xué)成就的歷史充滿了突破，這些突破常常引起人們這樣的反應(yīng)：我怎么也不會(huì)想到這種方法。即使在現(xiàn)今，當(dāng)有人對(duì)一道題提出一個(gè)聰明或優(yōu)雅的解答時(shí)，許多人也會(huì)有同樣的反應(yīng)。解題過(guò)程試圖使這些不尋常的解答成為可獲得的解題知識(shí)庫(kù)中的一部分。
如今的解題在很大程度上是基于喬治·波利亞①在1945年出版的《怎樣解題》（HowtoSolveIt）②一書中提出的啟發(fā)式模型。此書現(xiàn)在仍然有售。在書中，波利亞提出了解題的四個(gè)階段：
（1）理解題目
（2）擬定方案
（3）執(zhí)行方案
（4）回顧
目前的大多數(shù)解題模型都基于這種啟發(fā)式模型。其方案通常包括：（1）閱讀題目，（2）選擇適當(dāng)?shù)牟呗裕��?）解題，（4）對(duì)解答作回顧或反思。它們所用的術(shù)語(yǔ)可能不同，但理念都是相同的。整個(gè)過(guò)程的關(guān)鍵是選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)牟呗�，或者說(shuō)決定怎樣解題。構(gòu)思和撰寫本書，正是為了詳細(xì)探究這一關(guān)鍵步驟。
正如我們已經(jīng)說(shuō)過(guò)的，選擇適當(dāng)?shù)牟呗允墙忸}的關(guān)鍵步驟。在過(guò)去的幾十年里，不同的作者撰寫和提出了許多不同的策略，它們中的大多數(shù)都擁有一些共同的思路。在本書中，我們決定研究解題時(shí)使用的最有價(jià)值的10種策略。對(duì)于每一種策略，我們都用整整一章來(lái)討論。在對(duì)題目的闡述過(guò)程中，我們首先給出最明顯或最常見(jiàn)的方法。很多時(shí)候，這種方法會(huì)給出一個(gè)正確的答案。然而，最常見(jiàn)的方法往往需要大量令人困惑的代數(shù)方法、一些困難的計(jì)算，有時(shí)甚至還可能得不到正確的答案。
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