在當今科學與工程的廣闊領域中, 復變函數(shù)與積分變換作為數(shù)學工具的核心組成部分, 扮演著 舉足輕重的角色. 它們不僅是理論研究的基石, 更是解決實際問題的利器. 本書旨在為讀者提供一 部內(nèi)容全面、結構清晰、易于理解的教材, 幫助讀者系統(tǒng)地掌握這一領域的基本理論和實際應用, 為未來的學術研究和職業(yè)生涯打下堅實的基礎. 復變函數(shù), 將函數(shù)的變量范圍從實數(shù)域擴展到了復數(shù)域. 這種推廣看似平凡, 卻因為復變函數(shù) 的解析理論能揭示許多在實數(shù)域中難以發(fā)現(xiàn)的數(shù)學規(guī)律和性質(zhì), 而顯得豐富多彩且極具生命力. 通 過復變函數(shù), 我們可以更加深入地理解自然界的許多現(xiàn)象, 如電磁場的分布、流體的流動、振動與 波動等. 本書先介紹復數(shù)的基本概念、運算規(guī)則和幾何意義, 然后逐步將實數(shù)情形的極限與微積分 理論推廣到復數(shù)情形, 并揭示這二者本質(zhì)的差異. 我們將深入探討復變函數(shù)的可導性和解析性, 并 由此得到其積分表達、級數(shù)展開、奇點行為與留數(shù)等核心理論. 積分變換, 特別是傅里葉變換和拉普拉斯變換, 是現(xiàn)代科學與工程中廣泛應用的數(shù)學工具. 它 們在函數(shù)變換方面的諸多性質(zhì), 解釋了處理信息的一般手段. 不僅如此, 它們還能夠?qū)碗s的微分、 積分方程轉(zhuǎn)化為易于求解的代數(shù)方程, 將復雜的卷積運算化為簡單的乘積運算. 本書將在復變函數(shù) 相關理論的基礎上, 深入探討這兩類積分變換的動機、原理、性質(zhì)及應用, 以便讀者掌握積分變換 的基本方法和技巧. 在本書編寫過程中, 我們注重理論與實踐的結合, 兼顧趣味性和可讀性, 力求使內(nèi)容既具有理 論深度, 又易于理解和應用. 在本書中, 我們力求每一個概念的引入背景都有所交代, 讓讀者能很容 易地接受抽象的數(shù)學概念; 每一個性質(zhì)都有所應用, 避免讀者陷入為何而學的困惑中; 每一個定理 都可以用簡短的語言來解釋, 并提供多視角的理解方式, 讓讀者理解而不只是記住一個個知識點. 本書提供了豐富的例題和隨堂練習, 讓讀者可以學練互動. 每一章的結尾對相應章節(jié)內(nèi)容進行 了總結, 并著重指出不易理解和易出錯的知識點. 本書中的選讀內(nèi)容建議讓感興趣的學生自學, 而 不必講授. 若因課時不足而不能講授全書, 則可依次不講授保形映射、積分變換在積分和級數(shù)中的 應用、留數(shù)在級數(shù)中的應用、留數(shù)在定積分中的應用. 本書是在合肥工業(yè)大學全體數(shù)學教師的支持下編寫完成的. 相關課程的數(shù)字教學資源由袁志 杰、趙德勤、陳智、周玲、劉可為等人建設完成. 感謝本書完成過程中學院領導和同事的大力支持, 感謝本書的編輯、校對和審閱專家. 由于編者水平有限, 書中錯誤之處在所難免, 敬請讀者指正!編 者
目 錄引言第 1 章 復數(shù)與復變函數(shù) 11.1 復數(shù)及其代數(shù)運算 11.1.1 復數(shù)的產(chǎn)生 11.1.2 復數(shù)的概念 31.1.3 復數(shù)的代數(shù)運算 41.1.4 共軛復數(shù) 61.2 復數(shù)的三角形式與指數(shù)形式 71.2.1 復數(shù)的模和輻角 71.2.2 復數(shù)的三角和指數(shù)形式 101.3 三角和指數(shù)形式在計算中的運用 121.3.1 復數(shù)的乘除 121.3.2 復數(shù)乘法的幾何意義 131.3.3 復數(shù)的乘冪 141.3.4 復數(shù)的方根 151.3.5 實系數(shù)三次方程根的情況 (選讀)171.3.6 單位根的應用 (選讀) 191.4 曲線和區(qū)域 231.4.1 復數(shù)表示平面曲線 231.4.2 區(qū)域和閉區(qū)域 251.4.3 區(qū)域的特性 281.5 復變函數(shù) 291.5.1 復變函數(shù)的定義 291.5.2 復平面的變換 301.6 極限和連續(xù)性 331.6.1 數(shù)列的極限 331.6.2 無窮遠點和復球面 341.6.3 函數(shù)的極限 351.6.4 函數(shù)的連續(xù)性 371.6.5 復數(shù)域的性質(zhì) (選讀) 38本章小結 44本章作業(yè) 45第 2 章 解析函數(shù) 472.1 解析函數(shù)的概念 472.1.1 可導函數(shù) 472.1.2 可微函數(shù) 492.1.3 解析函數(shù) 502.2 函數(shù)解析的充要條件 512.2.1 柯西黎曼定理 512.2.2 柯西黎曼定理的應用 532.3 初等函數(shù) 572.3.1 指數(shù)函數(shù) 572.3.2 對數(shù)函數(shù) 592.3.3 冪函數(shù) 612.3.4 三角函數(shù)和相關函數(shù) 632.3.5 在有理函數(shù)中的應用 662.3.6 矩陣上的指數(shù)函數(shù) (選讀) 692.3.7 多值函數(shù)的單值化 (選讀) 72本章小結 76本章作業(yè) 77第 3 章 復變函數(shù)積分 793.1 復變函數(shù)積分的概念 793.1.1 復變函數(shù)積分的定義 793.1.2 參變量法計算復變函數(shù)積分 803.1.3 長大不等式和大小圓弧引理 833.2 柯西-古薩定理和復合閉路定理853.2.1 柯西-古薩定理 853.2.2 復合閉路定理和連續(xù)變形定理 873.2.3 原函數(shù)和不定積分 903.3 柯西積分公式 94目 錄 V3.3.1 解析函數(shù)的柯西積分公式 943.3.2 高階導數(shù)的柯西積分公式 963.4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù) 1003.4.1 調(diào)和函數(shù) 1003.4.2 共軛調(diào)和函數(shù) 1013.5 復變函數(shù)在平面向量場中的應用(選讀) 1043.5.1 平面向量場 1043.5.2 無源場、無旋場和調(diào)和場 1053.5.3 應用舉例 106本章小結 109本章作業(yè) 110第 4 章 級數(shù) 1134.1 復數(shù)項級數(shù) 1134.1.1 復數(shù)項級數(shù)及其斂散性 1134.1.2 判別法 1164.2 冪級數(shù) 1174.2.1 冪級數(shù)及其收斂圓 1174.2.2 收斂半徑的計算 1194.2.3 冪級數(shù)的運算性質(zhì) 1204.3 泰勒級數(shù) 1234.3.1 泰勒展開的形式與性質(zhì) 1234.3.2 泰勒展開的計算方法 1254.3.3 泰勒展開在級數(shù)中的應用(選讀) 1284.3.4 泰勒展開成立的范圍(選讀) 1304.4 洛朗級數(shù) 1324.4.1 雙邊冪級數(shù) 1324.4.2 洛朗展開的形式 1344.4.3 洛朗展開的計算方法 1364.4.4 有理函數(shù)的泰勒展開和洛朗展開(選讀) 1404.5 孤立奇點 1454.5.1 孤立奇點的類型 1454.5.2 零點與極點 1494.5.3 孤立奇點 的分類 (選讀) 151本章小結 154本章作業(yè) 155第 5 章 留數(shù)及其應用 1585.1 留數(shù) 1585.1.1 留數(shù)定理 1585.1.2 留數(shù)的計算方法 1595.1.3 在 的留數(shù) 1625.2 留數(shù)的應用 1645.2.1 留數(shù)在定積分中的應用 1645.2.2 留數(shù)在級數(shù)中的應用 (選讀) 1745.2.3 儒歇定理 (選讀) 177本章小結 180本章作業(yè) 181第 6 章 保形映射 1836.1 保形映射的概念 1836.1.1 導數(shù)的幾何意義 1836.1.2 保形映射的定義 1846.1.3 擴充復平面上的保形映射 1856.2 分式線性映射 1876.2.1 分式線性映射的性質(zhì) 1876.2.2 分式線性映射舉例 1916.2.3 分式線性映射的其他表現(xiàn)(選讀) 1956.3 初等函數(shù)對應的映射 1986.3.1 冪函數(shù) 1986.3.2 指數(shù)函數(shù) 2006.3.3 儒可夫斯基函數(shù) 2036.4 保形映射在標量場中的應用(選讀) 206本章小結 208本章作業(yè) 209第 7 章 積分變換 2117.1 傅里葉變換 2117.1.1 積分變換的引入 2117.1.2 傅里葉級數(shù) 2127.1.3 傅里葉變換 2147.1.4 狄拉克 函數(shù) 219VI 目 錄7.1.5 傅里葉變換的性質(zhì) 2227.1.6 傅里葉變換的應用 2277.2 拉普拉斯變換 2337.2.1 拉普拉斯變換的定義 2337.2.2 拉普拉斯變換的性質(zhì) 2357.2.3 拉普拉斯逆變換 2387.2.4 拉普拉斯變換的應用 240本章小結 243本章作業(yè) 245練習參考答案 247作業(yè)參考答案 249參考文獻 263中外人名對照表 264索引 266
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