本書以數(shù)學發(fā)展過程中幾個改變世界的重要分支為切入點，通過講述數(shù)學成就、應(yīng)用案例及數(shù)學家的傳奇故事，凸顯數(shù)學在改變世界方面的關(guān)鍵創(chuàng)新與實際應(yīng)用，助力讀者提升數(shù)學素養(yǎng)，深刻理解數(shù)學對人類文明發(fā)展的深遠影響。 全書16章基本上循著歷史脈絡(luò)徐徐展開。第1章是對數(shù)學及其文化的總體概述，幫助讀者建立起對數(shù)學的整體認知；第2章回溯記數(shù)方法的誕生歷程，探尋數(shù)學的源頭；第3章和第4章深入解析古希臘數(shù)學和中國古代數(shù)學，呈現(xiàn)出演繹化與算法化這兩條并行的數(shù)學發(fā)展之路，讓讀者領(lǐng)略不同文明孕育的數(shù)學智慧結(jié)晶；第5章至第11章系統(tǒng)講述數(shù)論、代數(shù)、幾何、微積分、概率統(tǒng)計、非歐幾何、無窮理論等分支的演進故事，展現(xiàn)人類對世界的認知如何隨數(shù)學發(fā)展不斷深化；第12章聚焦20世紀初數(shù)學公理化運動與數(shù)學基礎(chǔ)論爭，呈現(xiàn)數(shù)學大廈在根基層面的思想交鋒；第13章至第15章展現(xiàn)數(shù)學在現(xiàn)實中的廣泛應(yīng)用，從與計算機的協(xié)同發(fā)展、對航海事業(yè)的推動，到在現(xiàn)代各領(lǐng)域發(fā)揮的關(guān)鍵作用，帶領(lǐng)讀者直觀感受數(shù)學如何塑造我們的生活與世界；第16章介紹21世紀以來的數(shù)學新進展及當代數(shù)學家的探索成果。
本書以數(shù)學發(fā)展史上的關(guān)鍵分支為主線，從記數(shù)法的起源到21世紀的前沿突破，通過生動的案例、數(shù)學家的傳奇故事和實際應(yīng)用，展現(xiàn)數(shù)學如何塑造人類文明。作者結(jié)合自己多年的教學經(jīng)驗，將高深理論轉(zhuǎn)化為通俗敘述，涵蓋古希臘演繹數(shù)學、中國古代算法、微積分革命、非歐幾何爭議等精彩內(nèi)容，特別加入航海數(shù)學等特色章節(jié)。書中穿插著趣味數(shù)學問題、電影典故等，既適合作為高等院校數(shù)學通識教材，也能滿足大眾讀者探索數(shù)學之美的需求。
前 言我是一名籃球愛好者，通常每周六下午都會去球場打球，晚上則會和球友一起聚餐聊天，這也是一種放松自我的方式。球友來自五湖四海，在不同行業(yè)工作，因為愛好籃球聚在一起。在聊天時，除了談?wù)撘恍┗@球話題之外，還經(jīng)常會談到他們各自的行業(yè)以及發(fā)生的趣事。例如，公安系統(tǒng)的朋友會談到如何偵破案件及抓捕犯人，律師會談及如何在法庭上與對手針鋒相對以及一些法律條文，做銷售的朋友則會講其如何對某個產(chǎn)品或項目進行公關(guān)、經(jīng)營和管理，等等。但是我好像沒什么可聊的，有位要好的朋友對我說，他們從事的行業(yè)都能彼此扯上關(guān)系，而我研究的數(shù)學則跟大家沒有共同話題。的確，大多數(shù)朋友一提到數(shù)學就搖頭，或是一聽到我的職業(yè)就驚呼：“哇，你居然是數(shù)學老師！”然后大多數(shù)人都會緊接著來一句：“我上學時最怕數(shù)學了！”毫無疑問，很多人都不喜歡數(shù)學，都害怕數(shù)學，以至于畢業(yè)多年之后，想起數(shù)學課和數(shù)學老師都心有余悸。我有時候就暗想，如何讓朋友也了解一下數(shù)學，改變他們對數(shù)學的印象呢？在聊天時偶爾我會給大家講一些數(shù)學家的趣事或一些數(shù)學笑話，來博得大家的笑聲，希望通過這些來刷下存在感，也順便普及下數(shù)學。為了拓展自己在數(shù)學科普方面的知識，在學校里，除了講授一些大學數(shù)學基礎(chǔ)課程之外，我還選講了一些數(shù)學通識課，像“文科數(shù)學”“數(shù)學文化”“數(shù)學大師”“數(shù)學與海洋”等，希望能通過這些課程，幫助當代大學生對數(shù)學有一個整體認識，提高他們對數(shù)學知識的理解，激發(fā)他們對數(shù)學學習的興趣，豐富數(shù)學課堂實踐。同時，這些課程也能增進我對數(shù)學以及數(shù)學教育的認知，開闊自己的眼界。本書正是我講授這些數(shù)學通識課的成果。十多年來，為了講好這些課，我閱讀了大量數(shù)學史與數(shù)學文化方面的經(jīng)典著作，遇到好的數(shù)學科普書籍也毫不猶豫買下，但在課堂上我仍會時感思維短路，對數(shù)學文化的博大精深常會發(fā)出由衷的贊嘆。正如古希臘哲學家蘇格拉底的名言：“我比別人知道得多，不過是我知道自己的無知�！钡舱沁@樣的“教學相長”使我獲益匪淺，“路雖遠，行則將至；事雖難，做則必成�！眰鞑�(shù)學，科普數(shù)學，我已在路上。往后余生，有你陪伴，不亦樂哉！本書主要是從歷史的角度來講述數(shù)學的故事。數(shù)學的歷史，源遠流長，它是人類早期文明的一部分。在五千余年的數(shù)學歷史發(fā)展中，隨著數(shù)學思想方法的不斷豐富與發(fā)展，數(shù)學經(jīng)歷了從常量數(shù)學到變量數(shù)學，再到近現(xiàn)代的抽象數(shù)學。如今，數(shù)學以更為抽象的姿態(tài)出現(xiàn)在世人面前：它以公理化為主要研究方法，成為一門純粹的演繹科學。但是數(shù)學又是一個開放的文化體系，它與人類的其他文化有著千絲萬縷的聯(lián)系。其中主要包括：重要的數(shù)學思想方法產(chǎn)生的社會政治和經(jīng)濟條件；數(shù)學與自然的辯證關(guān)系；數(shù)學的每一次發(fā)展如何改變?nèi)祟惖臍v史進程；數(shù)學的每一次變革如何影響我們的世界觀、生活方式和思維方式；等等。21世紀以來，隨著大數(shù)據(jù)和人工智能的發(fā)展，社會各個領(lǐng)域?qū)?shù)學的需求越來越大，數(shù)學在整個科學與技術(shù)領(lǐng)域的基礎(chǔ)學科地位也越來越重要。通過數(shù)學歷史知識的普及，有助于人們從文化的視角重新認識數(shù)學的本質(zhì)，體會數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值、人文價值與美學價值，從而使現(xiàn)代社會的公民能夠更好地順應(yīng)社會數(shù)學化的進程。習近平總書記指出：“要努力構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系，形成更高水平的人才培養(yǎng)體系。”這就要求我們在數(shù)學教育中要貫徹全面發(fā)展的教育理念。因此，本書旨在使讀者“感受數(shù)學魅力，領(lǐng)悟數(shù)學精神”，達到普及數(shù)學知識、傳播數(shù)學文化的目的，實現(xiàn)科學與人文全面發(fā)展的教育目標。在已出版的數(shù)學通識類書籍中，側(cè)重點各有不同。有的側(cè)重數(shù)學歷史，有的側(cè)重數(shù)學思想方法，有的側(cè)重數(shù)學問題，有的側(cè)重數(shù)學與文學、詩歌、音樂、藝術(shù)的結(jié)合等。由于數(shù)學內(nèi)涵豐富，外延廣大，數(shù)學通識課很難有一個統(tǒng)一體系。本書在選材時，主要突出了以下幾個方面。（1）思政性：響應(yīng)時代“大思政”號召，突出中國數(shù)學家的數(shù)學成就，突出中外數(shù)學家在問題探索中的思政元素。（2）航海特色：緊跟國家“海洋戰(zhàn)略”，本書第14章“數(shù)學與航�！�，充分展示了大航海時代的數(shù)學文化。（3）應(yīng)用性：倡導“理論與實踐”相結(jié)合的理念，展示數(shù)學在物理、金融、生物、醫(yī)療、密碼等方面的最新應(yīng)用。（4）科普性：采用案例驅(qū)動的方式引入和闡述相關(guān)內(nèi)容，每一章都會通過數(shù)學問題、數(shù)學故事、數(shù)學典故、數(shù)學趣題、數(shù)學電影等引人入勝的案例展開，力求通俗易懂，方便讀者理解每一章內(nèi)容。本書共16章，大體上按照歷史順序來展開。第1章是對數(shù)學及其文化的總體概述；第2章介紹記數(shù)方法的產(chǎn)生，并討論數(shù)學的起源；第3章和第4章是古希臘數(shù)學和中國古代數(shù)學，它們分別代表了數(shù)學史上演繹化和算法化這兩種數(shù)學發(fā)展方向；第5章至第11章闡述數(shù)學發(fā)展的各個分支，如數(shù)論、代數(shù)、幾何、微積分、概率與統(tǒng)計、非歐幾何、無窮的理論等；第12章討論20世紀初各大數(shù)學學派對數(shù)學基礎(chǔ)的論爭；第13章至第15章充分展示數(shù)學與計算機、數(shù)學與航海，以及數(shù)學在現(xiàn)代各領(lǐng)域中的應(yīng)用；第16章介紹21世紀以來的最新數(shù)學進展及當代知名數(shù)學家。本書在寫作過程中引用了許多數(shù)學家、數(shù)學史家、數(shù)學文化專家、國內(nèi)外同行的研究成果以及一些網(wǎng)上資源，在此一并謝過！限于水平，錯漏之處在所難免，敬請同行批評指正，以期不斷完善（如有建議或意見，請聯(lián)系：2010math@sina.cn）。李祥兆
李祥兆博士，畢業(yè)于華東師范大學教育學專業(yè)，現(xiàn)為上海海事大學教師，主講高等數(shù)學、微積分、數(shù)學文化、數(shù)學史等課程，對數(shù)學文化和數(shù)學史有較深入的研究，目前已出版相關(guān)著作三部。
目 錄序前言第1章 導論 / 11.1 數(shù)學改變世界 / 11.2 什么是數(shù)學 / 51.2.1 數(shù)學文化觀 / 61.2.2 數(shù)學的定義 / 91.3 數(shù)學對象的歷史演進 / 151.3.1 幾何學的誕生 / 161.3.2 代數(shù)學的興起 / 171.3.3 解析幾何與微積分的出現(xiàn) / 191.3.4 20世紀以來的數(shù)學 / 211.4 數(shù)學交流 / 231.5 數(shù)學文化的普及 / 27第2章 數(shù)學的誕生 / 332.1 數(shù)感與記數(shù)法 / 332.2 早期文明的記數(shù)系統(tǒng) / 362.2.1 中國古代的算籌記數(shù)法和干支記數(shù)法 / 362.2.2 古巴比倫的楔形數(shù)字 / 432.2.3 古埃及的象形數(shù)字 / 442.2.4 其他文明的記數(shù)方法 / 472.3 神秘的數(shù)字 / 492.3.1 中華文化的源頭—河圖與洛書 / 502.3.2 來自西方的神秘數(shù)字 / 55第3章 古希臘數(shù)學 / 583.1 畢達哥拉斯與勾股定理 / 603.1.1 畢達哥拉斯的“萬物皆數(shù)” / 603.1.2 勾股定理 / 633.1.3 無理數(shù)與黃金分割 / 643.2 柏拉圖與亞里士多德的方法論 / 663.2.1 柏拉圖學園 / 673.2.2 亞里士多德的呂園 / 683.3 歐幾里得的《幾何原本》 / 693.3.1 《幾何原本》的公理化體系 / 713.3.2 《幾何原本》中的勾股定理 / 733.3.3 《幾何原本》的文化意義 / 743.4 古希臘三大作圖問題與圓錐曲線 / 773.4.1 古希臘三大作圖問題 / 773.4.2 圓錐曲線 / 803.5 “數(shù)學之神”阿基米德 / 82第4章 中國古代數(shù)學 / 884.1 劉徽與《九章算術(shù)》 / 894.1.1 《九章算術(shù)》 / 894.1.2 以率推術(shù) / 924.1.3 出入相補原理 / 954.1.4 徽率 / 974.2 祖沖之與球體積公式 / 984.3 宋元數(shù)學四大家 / 1014.3.1 秦九韶與“中國剩余定理” / 1024.3.2 楊輝與縱橫圖 / 1064.3.3 李冶與天元術(shù) / 1084.3.4 朱世杰與四元術(shù) / 1114.4 中國古代數(shù)學的特征 / 1144.4.1 算法化 / 1144.4.2 實用性 / 1154.4.3 寓理于算 / 117第5章 素數(shù)之美 / 1205.1 素數(shù) / 1215.1.1 素數(shù)有無限多個 / 1225.1.2 尋找梅森素數(shù) / 1235.1.3 素數(shù)的分布 / 1265.2 數(shù)學猜想 / 1315.2.1 哥德巴赫猜想 / 1315.2.2 費馬猜想 / 1335.2.3 黎曼猜想 / 1385.3 素數(shù)的應(yīng)用 / 1435.3.1 哈代–溫伯格定律 / 1435.3.2 華羅庚破譯日軍密碼 / 1445.3.3 大自然中的素數(shù)—十七年蟬 / 148第6章 方程求解與代數(shù)學的發(fā)展 / 1506.1 從簡寫代數(shù)到符號代數(shù) / 1516.1.1 丟番圖的“簡寫代數(shù)” / 1516.1.2 花拉子米與海亞姆的代數(shù)學 / 1536.1.3 婆什迦羅的代數(shù)學 / 1576.1.4 斐波那契的《計算之書》 / 1586.1.5 卡爾達諾的一元三次方程求根公式 / 1606.1.6 韋達的符號代數(shù) / 1646.2 一元五次方程 / 1666.2.1 一元五次方程無根式解 / 1666.2.2 方程有根式解的條件 / 1696.2.3 伽羅瓦的群論 / 1706.3 虛數(shù)不虛 / 1716.3.1 數(shù)系的自然擴充 / 1726.3.2 復數(shù)與超復數(shù) / 1746.3.3 虛數(shù)在自然界的應(yīng)用 / 182第7章 數(shù)形結(jié)合 / 1847.1 笛卡兒與方法論 / 1857.1.1 解析幾何之父—笛卡兒 / 1857.1.2 方法論 / 1887.2 曲線與方程 / 1897.2.1 曲線與方程的結(jié)合 / 1907.2.2 曲線與方程的分類 / 1907.2.3 費馬的斜坐標系 / 1917.2.4 兩者工作的比較 / 1927.3 解析幾何的意義 / 1937.3.1 對于科學的發(fā)展 / 1937.3.2 對于代數(shù)學的發(fā)展 / 1947.3.3 對于幾何學的發(fā)展 / 195第8章 微積分的力量 / 1988.1 早期積分方法的發(fā)展 / 1998.1.1 劉徽的積分方法—“割圓術(shù)” / 2008.1.2 阿基米德的積分方法—“平衡法” / 2008.1.3 開普勒的積分方法—“量分割法” / 2028.1.4 卡瓦列利的不可分量原理 / 2028.2 近代微分方法的發(fā)展 / 2048.2.1 費馬的切線法 / 2048.2.2 笛卡兒的圓法 / 2058.2.3 巴羅的特征三角形 / 2058.3 微積分理論的創(chuàng)立 / 2068.3.1 牛頓的微積分 / 2078.3.2 萊布尼茨的微積分 / 2138.3.3 優(yōu)先權(quán)之爭 / 2168.4 微積分理論的嚴格化 / 2218.4.1 柯西的極限方法 / 2228.4.2 魏爾斯特拉斯的分析算術(shù)化 / 2238.4.3 實數(shù)理論 / 226第9章 概率與統(tǒng)計 / 2319.1 概率論 / 2329.1.1 賭博問題與帕斯卡三角形 / 2339.1.2 伯努利大數(shù)定律 / 2369.1.3 拉普拉斯的分析概率論 / 2379.1.4 柯爾莫哥洛夫的概率的公理化體系 / 2389.1.5 概率論的應(yīng)用 / 2409.2 數(shù)理統(tǒng)計 / 2469.2.1 格朗特的死亡統(tǒng)計表 / 2479.2.2 凱特勒的正態(tài)分布曲線 / 2489.2.3 高爾頓的相關(guān)與回歸理論 / 2509.2.4 數(shù)理統(tǒng)計學的應(yīng)用 / 253第10章 非歐幾何 / 25910.1 羅巴切夫斯基幾何學的創(chuàng)立 / 26010.1.1 對“第五公設(shè)”的疑惑 / 26010.1.2 非歐幾何思想的萌芽 / 26210.1.3 羅巴切夫斯基幾何學的誕生 / 26310.2 歐幾里得幾何與非歐幾何的比較 / 26910.2.1 黎曼幾何 / 26910.2.2 三種幾何學的比較 / 27110.2.3 非歐幾何的文化意義 / 272第11章 無窮的世界 / 27811.1 伽利略的困惑 / 28011.2 康托爾與集合論 / 28211.2.1 集合論的創(chuàng)始人—康托爾 / 28211.2.2 有理數(shù)集是可數(shù)的 / 28311.2.3 實數(shù)集是不可數(shù)的 / 28411.2.4 無窮集的基數(shù) / 28611.3 連續(xù)統(tǒng)假設(shè) / 287第12章 數(shù)學基礎(chǔ)危機 / 29012.1 公理集合的性質(zhì) / 29112.2 希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》 / 29212.2.1 《幾何原本》的缺陷 / 29212.2.2 《幾何基礎(chǔ)》 / 29312.3 羅素悖論與三大數(shù)學學派 / 29712.3.1 羅素悖論 / 29812.3.2 三大數(shù)學學派 / 300第13章 數(shù)學與計算機 / 30413.1 現(xiàn)代計算機的先驅(qū) / 30513.1.1 算盤與對數(shù)尺 / 30513.1.2 早期的計算器 / 30713.1.3 算法與圖靈機 / 30913.1.4 科學技術(shù)與數(shù)學的完美結(jié)合 / 31413.2 機器證明 / 31813.2.1 吳文俊與數(shù)學機械化 / 31813.2.2 四色猜想的機器證明 / 32213.3 分形的計算機迭代 / 32613.3.1 分形幾何 / 32613.3.2 分形的迭代原理及其應(yīng)用 / 33013.4 開普勒猜想的計算機證明 / 33313.4.1 開普勒猜想的提出 / 33313.4.2 海爾斯的計算機證明 / 336第14章 數(shù)學與航海 / 33914.1 早期人類對航海的探索 / 34114.1.1 大地是球形的 / 34114.1.2 測量地球的周長 / 34214.2 轟轟烈烈的大航海時代 / 34314.2.1 如何把握航向 / 34314.2.2 如何確定緯度 / 34614.2.3 如何確定經(jīng)度 / 34914.2.4 地圖繪制的數(shù)學原理 / 35114.2.5 船舶技術(shù)中的數(shù)學 / 35614.3 現(xiàn)代航海之路 / 35914.3.1 衛(wèi)星導航系統(tǒng) / 36014.3.2 船舶雷達系統(tǒng) / 36014.3.3 航海技術(shù)的智能化 / 361第15章 現(xiàn)代數(shù)學應(yīng)用 / 36315.1 數(shù)學應(yīng)用概述 / 36415.2 數(shù)學模型方法 / 36615.3 現(xiàn)代數(shù)學應(yīng)用案例 / 37115.3.1 案例1—CT掃描中的數(shù)學 / 37115.3.2 案例2—DNA結(jié)構(gòu)中的數(shù)學 / 37515.3.3 案例3—激光照排技術(shù)中的數(shù)學 / 38015.3.4 案例4—密碼中的數(shù)學 / 38215.3.5 案例5—金融中的數(shù)學 / 387第16章 21世紀的數(shù)學 / 39216.1 數(shù)學的統(tǒng)一性 / 39416.1.1 希爾伯特的數(shù)學統(tǒng)一觀 / 39516.1.2 阿蒂亞的數(shù)學統(tǒng)一觀 / 39616.1.3 丘成桐的時空統(tǒng)一觀 / 39716.2 龐加萊猜想 / 40016.2.1 千禧年七大數(shù)學難題 / 40116.2.2 龐加萊猜想的提出與解決 / 40316.3 張益唐與孿生素數(shù)猜想 / 40716.3.1 孿生素數(shù)猜想 / 40716.3.2 大器晚成的華裔數(shù)學家—張益唐 / 40916.4 當代亞裔數(shù)學天才 / 41116.4.1 華裔數(shù)學天才陶哲軒 / 41116.4.2 越南第一位菲爾茲獎得主—吳寶珠 / 41316.4.3 韓國第一位菲爾茲獎得主—許埈珥 / 41516.4.4 印度的數(shù)學天才—拉馬努金與巴爾加瓦 / 419參考文獻 / 423
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