前言
26年高等數(shù)學(xué)情緣與感悟
1999年，我步入大學(xué)殿堂，在懵懂之中開(kāi)始學(xué)習(xí)微積分。在攻讀完碩士、博士后，我從一名“挨踢民工”（IT諧音，喻指老程序員）輾轉(zhuǎn)企業(yè)、政府、學(xué)校工作，成長(zhǎng)為一名學(xué)校的教授，始終在使用和學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。26年的歷程，與高等數(shù)學(xué)結(jié)下了一種“甩不掉、有點(diǎn)煩、離不開(kāi)、喜歡它”的深厚情緣。也正是因?yàn)檫M(jìn)入學(xué)校工作，使得我有時(shí)間可以靜心思考和創(chuàng)作，以至于想把心路歷程、數(shù)學(xué)感悟、學(xué)習(xí)方法分享給大家。
一、 從應(yīng)付考試過(guò)關(guān)到修行高等數(shù)學(xué)
圖1展示了我在本科、研究生求學(xué)階段與工作階段對(duì)高等數(shù)學(xué)的感悟，主要有3點(diǎn)。
圖1在學(xué)習(xí)和工作中感悟高等數(shù)學(xué)
1. 大學(xué)要學(xué)專業(yè)先學(xué)高等數(shù)學(xué)，要學(xué)高等數(shù)學(xué)先學(xué)微積分
通常，理工科專業(yè)本科一年級(jí)優(yōu)質(zhì)學(xué)期就會(huì)先學(xué)微積分，部分涉及數(shù)據(jù)分析的文科類專業(yè)也會(huì)學(xué)。
我那時(shí)根本不知道微積分可以用來(lái)做什么，只是單純地想要學(xué)好、過(guò)關(guān)、拿個(gè)好成績(jī)。相信大多數(shù)人也是這種單純的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。大學(xué)里，我后續(xù)還學(xué)習(xí)了“線性代數(shù)”“概率論”這兩門高等數(shù)學(xué)課程。“微積分”“線性代數(shù)”“概率論”這3門高等數(shù)學(xué)課程構(gòu)成了很多專業(yè)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的“鐵三角”。
我大學(xué)讀的是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)。大學(xué)期間，在學(xué)習(xí)上述三門高等數(shù)學(xué)課程后，我還學(xué)習(xí)了“離散數(shù)學(xué)”“高等物理”“模擬電路”“數(shù)字電路”“編譯學(xué)原理”“算法分析與設(shè)計(jì)”等課程，它們都或多或少要用到微積分的一些知識(shí)。如果沒(méi)有微積分知識(shí)作基礎(chǔ)，聽(tīng)這些課程就會(huì)像聽(tīng)“天書”。
很多時(shí)候，我們需要在學(xué)習(xí)專業(yè)課程時(shí)回過(guò)頭來(lái)復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)�？梢哉f(shuō)，大學(xué)四年是提升數(shù)學(xué)修為的四年，也是讀書的黃金時(shí)期。因此，我認(rèn)為，“大學(xué)就是在不斷提升數(shù)學(xué)修為�！�
2. 讀研應(yīng)突破高等數(shù)學(xué)隔墻，學(xué)后當(dāng)具備“三種能力”
大學(xué)畢業(yè)后，迫于生計(jì)我選擇了先就業(yè)后考研。工作之余，我堅(jiān)持攻讀了軟件工程專業(yè)的碩士學(xué)位和控制科學(xué)與工程專業(yè)的博士學(xué)位。
剛進(jìn)入研究生學(xué)習(xí)階段時(shí)，我感嘆的學(xué)長(zhǎng)們寫出的學(xué)術(shù)論文滿版都是數(shù)學(xué)公式，用數(shù)學(xué)表述推理、表述數(shù)據(jù)分析情況，再輔以高清的數(shù)據(jù)展現(xiàn)圖。那時(shí)，我勵(lì)志自己也要寫出這樣“高大上”的學(xué)術(shù)論文。
總感覺(jué)研究生階段的自己在科學(xué)研究、工程實(shí)踐之間搖擺不定，仿佛在二者之間有一堵隱形但又確實(shí)存在的隔墻。站在工程實(shí)踐這邊，如果突破不了則寫的論文、做的工程項(xiàng)目不上檔次；站在科學(xué)研究這邊，如果突破不了則論文沒(méi)有落地、研究實(shí)用價(jià)值不明顯。一旦突破，則兩邊融會(huì)貫通。這堵隔墻就是高等數(shù)學(xué)。
幸運(yùn)的是，我遇到的是碩士生導(dǎo)師王如龍教授、博士生導(dǎo)師章兢教授，他們都是既注重科學(xué)研究又注重工程應(yīng)用的，一再要求從事的研究工作必須要有工程背景、實(shí)際應(yīng)用。以此要求為基調(diào)，在碩士三年和博士四年的學(xué)習(xí)期間，我都在工程和科學(xué)的研究中保持了一種比較好的平衡。
軟件的應(yīng)用開(kāi)發(fā)通常不需要太多的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，但是做大數(shù)據(jù)技術(shù)的研發(fā)必然涉及機(jī)器學(xué)習(xí)的模型，模型背后的原理需要運(yùn)用到大量的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，其中也包括微積分。
我感覺(jué)到，作為一名碩士研究生、博士研究生，與本科生和普通的工程技術(shù)人員最大的區(qū)別就是“研究生通常是突破了隔墻的人”。更具體地說(shuō)，研究生具備“三種能力”，即研究生能在科學(xué)研究與工程實(shí)踐之間融會(huì)貫通，能用數(shù)學(xué)知識(shí)描述、計(jì)算并建立解決方案的模型，能動(dòng)手運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋工程原理并做出應(yīng)用。這是我對(duì)研究生從事研究工作的樸素理解，要具備這“三種能力”，始終離不開(kāi)高等數(shù)學(xué)。
在研究生階段需要更多地進(jìn)行自習(xí)，如果沒(méi)有在大學(xué)里掌握微積分、線性代數(shù)、概率論，要研習(xí)并懂得做專業(yè)研究用到的數(shù)學(xué)知識(shí)幾乎沒(méi)有可能。例如，研究工程機(jī)械應(yīng)力應(yīng)變的有限元分析需要大量運(yùn)用到微積分中的導(dǎo)數(shù)、積分等知識(shí)；研究人工智能領(lǐng)域的機(jī)器學(xué)習(xí)需要大量運(yùn)用到極限、微分方程、偏導(dǎo)數(shù)等知識(shí)。
3. 社會(huì)中方見(jiàn)高等數(shù)學(xué)功夫，感悟中領(lǐng)會(huì)高等數(shù)學(xué)力量
如果認(rèn)為人生目標(biāo)只是謀個(gè)生計(jì)、圖口飯吃，我覺(jué)得不學(xué)高等數(shù)學(xué)也問(wèn)題不大。但是，要做個(gè)有追求的人、在專業(yè)領(lǐng)域有所建樹(shù)的人，至少?gòu)氖吕砉た茖�業(yè)的人士不太可能離開(kāi)高等數(shù)學(xué)。
首先，工程應(yīng)用的背后運(yùn)用到大量高等數(shù)學(xué)知識(shí)。我從事教育科學(xué)研究用到過(guò)支持向量機(jī)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等人工智能模型解決教育大數(shù)據(jù)分析的技術(shù)問(wèn)題，有微積分、線性代數(shù)、概率論等知識(shí)作為背景，可以較好地理解模型的每個(gè)參數(shù)代表的意義，可以輕松自如地調(diào)節(jié)模型參數(shù)，從而取得較好的泛化能力用于預(yù)測(cè)。
其次，經(jīng)過(guò)高等數(shù)學(xué)洗禮的人更具嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)。為什么學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)就是一種修為？并不是因?yàn)橹�識(shí)本身，而是因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)過(guò)程中可以積累起用高等數(shù)學(xué)描述和解決問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)性，修煉出一種對(duì)人對(duì)事都“認(rèn)真而又有節(jié)奏感”的數(shù)學(xué)修為。
最后，我喜歡在遇到紛雜的事務(wù)后到專業(yè)領(lǐng)域里來(lái)修身修心。每個(gè)人都有不同的愛(ài)好，有的人一有空就搓麻將消磨時(shí)光，有的人遇到心煩的事就邀約三五朋友喝酒唱歌。我更喜歡看看有高等數(shù)學(xué)知識(shí)的專業(yè)書，因?yàn)榕跎弦槐緦�業(yè)書，心靜下來(lái)了，人也平復(fù)了，再?zèng)]有心煩的事，再?zèng)]有紛紛擾擾；何況一進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，還能學(xué)到知識(shí)、提升價(jià)值。所以說(shuō)，“有高等數(shù)學(xué)修為的人，想不都難，這就是力量”。
縱觀與高等數(shù)學(xué)的26年情緣，可以小結(jié)為“與其厭煩，不如擁抱；既做修行，當(dāng)認(rèn)真學(xué)習(xí)”。自此開(kāi)篇，我和大家一起來(lái)再次學(xué)習(xí)微積分知識(shí)。
二、 談?wù)剠挓└叩葦?shù)學(xué)的原因及應(yīng)對(duì)辦法
接下來(lái)，我想從普適的角度談?wù)劄槭裁创蠹視?huì)厭煩高等數(shù)學(xué)。如圖2所示，我從三個(gè)角度來(lái)進(jìn)行評(píng)判。
圖2厭煩高等數(shù)學(xué)的原因及對(duì)策
1. 普遍厭煩高等數(shù)學(xué)的原因是什么
大家在社會(huì)中的分工不同，研究的專業(yè)領(lǐng)域不同，喜好自然也是不同。之所以普遍會(huì)對(duì)高等數(shù)學(xué)有點(diǎn)煩，我想無(wú)非三點(diǎn)原因。
優(yōu)質(zhì)點(diǎn)，高等數(shù)學(xué)里符號(hào)特別多，讓人心生畏懼。這尤以微積分更甚。像“∑”“∏”“∫”這些大型運(yùn)算符，一看就讓人自然而然地產(chǎn)生一種壓迫感。
第二點(diǎn)，普通的工作用不到高等數(shù)學(xué)，讓人本能回避。通常加、減、乘、除等基本運(yùn)算就能解決日常工作和生活的問(wèn)題，不需要用到多么高深的數(shù)學(xué)知識(shí)。
第三點(diǎn)，高等數(shù)學(xué)的現(xiàn)有讀物并不友好，讓人提不起興趣。市面上有關(guān)高等數(shù)學(xué)（特別是微積分的讀物）的圖書多為教材，無(wú)論是大學(xué)教材還是考研、自考用書，明顯讓人感覺(jué)枯燥。緣此，很少有人不厭煩高等數(shù)學(xué)。
2. 為什么提倡大家學(xué)高等數(shù)學(xué)
我們應(yīng)該不厭其煩地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，原因有三。
其一，數(shù)學(xué)符號(hào)并不可怕。人天生對(duì)未知事物有恐懼感，如果熟悉并且理解了背后的方法，自然就不怕了。
其二，大學(xué)生與普通人的不同之處就是高等數(shù)學(xué)。我時(shí)常提醒教過(guò)的大學(xué)生: “作為一名大學(xué)生，不學(xué)懂弄通點(diǎn)與普通人不一樣的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，怎么能在專業(yè)領(lǐng)域有所建樹(shù)和體現(xiàn)與別人的價(jià)值差異呢？”高等數(shù)學(xué)就是這樣，如果基礎(chǔ)打好了，會(huì)發(fā)現(xiàn)在專業(yè)知識(shí)領(lǐng)域可以有廣闊的學(xué)習(xí)空間，可以解決不一般的問(wèn)題，可以深入理解很多定論背后的原理。
其三，我真心想讓圖書活起來(lái)�，F(xiàn)在我就是想做這樣的一件事，讓枯燥的高等數(shù)學(xué)變得有趣一點(diǎn)、容易一點(diǎn)、實(shí)用一點(diǎn)�！叭齻�(gè)一點(diǎn)”加起來(lái)就會(huì)讓高等數(shù)學(xué)形象很多。我非常愿意嘗試這樣的圖書創(chuàng)作，惠及更多的普通人，使其成長(zhǎng)為專業(yè)的、掌握高等數(shù)學(xué)知識(shí)的、不一般的勞動(dòng)者。
3. 怎么讓自己不厭煩高等數(shù)學(xué)
想不厭煩高等數(shù)學(xué)就得想辦法提起學(xué)習(xí)的興趣，辦法自然有很多。
優(yōu)質(zhì)種辦法是激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力。動(dòng)力有很多種，通�？捎媚繕�(biāo)導(dǎo)向法培育動(dòng)力。例如，拿下微積分，通過(guò)自學(xué)課程考試；