前 言 FOREWORD 本書作者旨在編撰一部抽象代數(shù)的講義. 國(guó)內(nèi)外已有不少同類著作, 名家編 著也不少, 諸如李文威著的《代數(shù)學(xué)方法》, 塞爾日·蘭 (Serge Lang) 的《代數(shù)》, 內(nèi)容涉及廣泛, 對(duì)于優(yōu)秀的學(xué)生來(lái)說(shuō), 是很好的選擇, 但對(duì)于一般院校的學(xué)生而言, 難度頗高. 為了使一般的學(xué)生學(xué)起來(lái)容易上手并且對(duì)教師而言易于講授, 我們甄 選了相關(guān)素材來(lái)編寫本書. 本書的編寫按歷史的脈絡(luò), 循序漸進(jìn)地展開, 難免也會(huì) 摻入一些主觀見解, 雖無(wú)新增知識(shí)內(nèi)容, 但對(duì)于學(xué)習(xí)者閱讀來(lái)說(shuō)有趣, 受啟發(fā), 也 就有些許意義. 本書的編寫力求生動(dòng)有趣、開放包容、還原歷史、跟進(jìn)前沿. 群的概念對(duì)于 初學(xué)者而言, 頗為抽象，但其實(shí)有比較好的引入示例魔方. 魔方不僅是一款益 智玩具，同時(shí)還蘊(yùn)含很多群的知識(shí). 另外，一些比較重要和有趣的群我們也會(huì)簡(jiǎn) 單提及. 例如，魔群，是階數(shù)最大的散在單群，它和模形式中的 j-不變量有深刻 的聯(lián)系；模群, 是和模形式相關(guān)的群; 橢圓曲線是兼有理論和實(shí)際應(yīng)用的群，理 論方面比如像 BSD(Birch and Swinnerton) 猜想, 是仍在進(jìn)展的前沿問(wèn)題, 應(yīng)用方 面則有橢圓曲線的離散對(duì)數(shù)加密算法. 另外，橢圓曲線也和模形式有神奇的聯(lián)系, 就是所謂的 Shimura-Taniyama-Weil 猜想，也已經(jīng)完全證實(shí). 群是描述對(duì)稱的工 具，故而我們單列一節(jié)簡(jiǎn)單介紹對(duì)稱這個(gè)主題. 對(duì)稱在生活、建筑、繪畫乃至音樂(lè) 領(lǐng)域均有體現(xiàn), 例如莫扎特有一首很有趣的回文曲，即從正反兩個(gè)方向演奏都是 一首很優(yōu)美的曲子. 對(duì)于重要概念的產(chǎn)生，我們?cè)谀_注中加以簡(jiǎn)單介紹，以窺歷 史原貌. 群產(chǎn)生于方程的求根問(wèn)題. 對(duì)于五次以上一般代數(shù)方程沒有根式解，著 名數(shù)學(xué)家阿諾德 (Arnold) 曾給出一個(gè)高中生即可理解的簡(jiǎn)單證明，我們也在腳 注里提及出處, 供感興趣的讀者探究. 抽象本身是一種哲學(xué)方法. 對(duì)一些具有共性的具體實(shí)例的本質(zhì)要點(diǎn)加以提煉 概括, 所得理論具有更加廣泛的適用性. 自然, 讀者理解起來(lái)有時(shí)不免云里霧里, 所以還是要透過(guò)具體實(shí)例來(lái)理解, 方能體會(huì)其中含義. 例子本也無(wú)須多而奇, 能展 示理論本身的要點(diǎn)最好. 抽象代數(shù)也并未如其名那般抽象, 本書講授的是群、環(huán)、 域的基本概念. 經(jīng)典的概念具有強(qiáng)大的生命力, 它們從歷史中沉淀而來(lái), 恰如文學(xué) 名著. 當(dāng)下科技突飛猛進(jìn), 文獻(xiàn)資料浩如煙海, 然而終歸沙多金少, 留下的方才熠 j 抽象代數(shù)初步 熠生輝. 數(shù)學(xué)在某種程度上類似藝術(shù), 不同人的品位自然不同. 數(shù)學(xué)的專業(yè)學(xué)習(xí)既需 要嚴(yán)格的訓(xùn)練, 也需要廣泛的交流, 譬如讀沙法列維奇 (I. R. Shafarevich) 的《代 數(shù)基本概念》便會(huì)有種交流的感覺. 多閱讀名家的作品總歸是好的, 開卷有益. 本書借鑒了李文威、羅特曼 (J. Rotman)、阿廷 (M. Artin)、蘭 (S. Lang) 等 人的著作, 在此致謝. 另外, 本書的出版得到了臨沂大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院以及機(jī)械 工業(yè)出版社的支持, 在此一并表示感謝. 有些小節(jié)加了星號(hào)，可根據(jù)課時(shí)的多少適 當(dāng)選擇講授. 限于編者才學(xué)，不當(dāng)之處望讀者朋友指正. 孫超超 田運(yùn)波 李 娟 2024 年夏 于臨沂大學(xué)