本專著中，主要考慮當系統解的正則性條件比較低的時候，我們嘗試構造了守恒的Galerkin譜元算法，并證明了Galerkin譜元算法收斂階。辛守恒是哈密爾頓系統的一個非常重要的幾何性質，目前關于二維哈密爾頓系統的辛算法討論很少，而且多數辛算法都是隱式的，因此我們以二維薛定諤方程為例，構造Galerkin分裂辛算法。能量耗散是耗散系統的重要性質，我們利用復合構造方法設計保局部能量耗散的三個算法，并從理論上證明算法的保局部能量耗散。最后數值實驗驗證了理論結果。