本書主要探討可積湍流、孤立子氣體等可積系統(tǒng)的最新進(jìn)展。內(nèi)容涵蓋可積湍流的概念、不同背景下可積湍流的統(tǒng)計(jì)描述,孤立子氣體的黎曼-希爾伯特漸近分析方法、湍流和孤子氣體的譜理論,以及物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在孤子方程求解中的應(yīng)用等內(nèi)容。當(dāng)前,該領(lǐng)域多數(shù)理論仍處于發(fā)展階段,具體研究方法與方向尚未完全明確。為此,本書重點(diǎn)研究:可積非線性薛定諤方程的平面波背景和橢圓余弦波背景生成的可積湍流、孤立子氣體的動(dòng)力學(xué)方程和譜理論、KdV方程的本原勢(shì)和孤立子氣體的黎曼-希爾伯特問(wèn)題分析方法。期望通過(guò)這些初期研究成果,為其他可積模型中可積湍流與孤立子氣體問(wèn)題的研究提供參考與助力。
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目錄
“非線性發(fā)展方程動(dòng)力系統(tǒng)叢書”序
前言
第1章 可積湍流定義及其統(tǒng)計(jì)特性 1
1.1 可積系統(tǒng)中的湍流 1
1.1.1 弱非線性系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)描述 3
1.1.2 動(dòng)力學(xué)方程的導(dǎo)出 7
1.1.3 KP-I方程的動(dòng)力學(xué)方程 8
1.1.4 缺少高階項(xiàng)的動(dòng)力學(xué)方程 11
1.1.5 強(qiáng)可積系統(tǒng)的湍流 13
1.2 可積湍流和怪波 15
1.2.1 可積湍流-漸近態(tài) 18
1.2.2 調(diào)制不穩(wěn)定性的非線性階段： 向漸近狀態(tài)演化 21
1.3 由橢圓余弦波的調(diào)制不穩(wěn)定性生成的可積湍流 26
1.3.1 數(shù)值方法 33
1.3.2 漸近穩(wěn)定狀態(tài)的演化 34
1.3.3 橢圓余弦波參數(shù)的依賴性 42
第2章 本原勢(shì) 49
2.1 KdV方程的本原勢(shì)和有界解 49
2.1.1 簡(jiǎn)介 49
2.1.2 通過(guò)穿衣法找Bargmann 勢(shì) 51
2.1.3 對(duì)稱的黎曼-希爾伯特問(wèn)題 54
2.1.4 周期單帶勢(shì) 58
2.1.5 可積系統(tǒng)的解 61
2.1.6 數(shù)值實(shí)驗(yàn) 61
2.1.7 討論和展望 68
2.2 作為本原解的KdV方程的代數(shù)幾何有限帶解 69
2.2.1 相關(guān)背景介紹 69
2.2.2 本原勢(shì)的有限帶解 70
2.2.3 k-平面上的Baker-Akhiezer函數(shù) 73
2.2.4 從Baker-Akhiezer函數(shù)到本原勢(shì) 77
2.2.5 數(shù)值本原解 81
2.2.6 討論和公開問(wèn)題 84
2.3 KdV方程的本原解的一些主要結(jié)果 84
2.3.1 作為一個(gè)*問(wèn)題的反散射的重述 85
2.3.2 極點(diǎn)變換和本原解 87
2.3.3 無(wú)反射本原勢(shì)的代數(shù)幾何勢(shì) 91
2.3.4 對(duì)稱情形 93
第3章 孤子氣體 95
3.1 致密孤子氣體的動(dòng)力學(xué)方程 95
3.2 雙向色散流體動(dòng)力學(xué)中的孤子氣體 101
3.2.1 雙向孤子氣體的動(dòng)力學(xué)方程 103
3.2.2 多組分雙向孤子氣體：黎曼問(wèn)題 110
3.3 聚焦非線性薛定諤方程孤子和呼吸氣體的譜理論 115
3.3.1 熱力學(xué)譜尺度化 121
3.3.2 呼吸子和孤子氣體的非線性色散關(guān)系 122
3.3.3 孤子或呼吸子在氣體中的傳播 128
3.3.4 稀薄呼吸子、孤子氣體和孤子凝聚體 131
3.3.5 呼吸子氣體和孤子氣體的動(dòng)力學(xué)方程 138
3.4 孤子氣體——N-孤子解的極限 142
3.4.1 當(dāng)x→-∞時(shí)勢(shì)函數(shù)u(x,0)的漸近性 150
3.4.2 當(dāng)t→+∞時(shí)u(x,t)的漸近性 175
第4章 波湍流 194
4.1 一維模型的色散波湍流 194
4.1.1 一維模型 194
4.1.2 四波共振方程 195
4.1.3 聚焦和耗散的無(wú)量綱化 196
4.1.4 為什么會(huì)有級(jí)聯(lián)? 198
4.1.5 顯式可解的弱湍流理論 199
4.1.6 動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo) 200
4.1.7 動(dòng)力學(xué)方程的顯式解 201
4.1.8 Zakharov的原始推導(dǎo) 206
4.1.9 一種新的慣性范圍縮放理論 209
4.2 一維波湍流 210
4.2.1 MMT模型方程中的弱湍流 212
4.2.2 孤子和準(zhǔn)孤子之間的區(qū)別 225
4.2.3 聚焦MMT模型中的孤子和爆破 227
4.2.4 散焦MMT模型中的準(zhǔn)孤子 230
4.2.5 數(shù)值方法的簡(jiǎn)要描述 233
第5章 物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與可積模型 236
5.1 偏微分方程的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)解與解的AI修復(fù) 237
5.2 多階段預(yù)固定物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法及其在耦合系統(tǒng)中的應(yīng)用 247
5.3 物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在其他方程中的應(yīng)用 254
參考文獻(xiàn) 258
“非線性發(fā)展方程動(dòng)力系統(tǒng)叢書”已出版書目 273
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