第一章 微分方程基本概念與基本定理1
1.1 微分方程的模型應(yīng)用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 解的存在性與唯一性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 解的延拓與比較定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 解對(duì)初值的可微性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 微分方程的發(fā)展史. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
第二章 初等積分法33
2.1 變量可分離方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 變量可分離方程的解法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 可化為變量可分離方程的類(lèi)型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 線(xiàn)性微分方程與常數(shù)變易法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 非齊次線(xiàn)性微分方程的通解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 伯努利微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 全微分方程與積分因子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 全微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 積分因子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 隱式微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1 參數(shù)法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.2 參數(shù)法的應(yīng)用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5 可降階的高階微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6 應(yīng)用實(shí)例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
第三章 線(xiàn)性微分方程組57
3.1 線(xiàn)性微分方程組的一般理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 一階齊次線(xiàn)性微分方程組. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.2 一階非齊次線(xiàn)性微分方程組. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.1 利用若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型求基解矩陣. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2 矩陣指數(shù)方法*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
第四章 高階線(xiàn)性微分方程75
4.1 高階線(xiàn)性微分方程的一般理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 高階齊次線(xiàn)性微分方程的解法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.1 特征根是單根的情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.2 特征根有重根的情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 高階非齊次線(xiàn)性微分方程的解法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.1 非齊次項(xiàng)?? 1??o = ????1??oe???? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.2 非齊次項(xiàng)?? 1??o = ?????1??o cos ???? ? ???? 1??o sin ?????e???? . . . . . . . . . 83
4.4 拉普拉斯變換. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 高階線(xiàn)性微分方程的應(yīng)用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5.1 機(jī)械振動(dòng). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5.2 ?????? 電路. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
第五章 定性和穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介91
5.1 穩(wěn)定性概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 李雅普諾夫第二方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 平面自治系統(tǒng)的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.1 相平面、相軌線(xiàn)與相圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.2 平面自治系統(tǒng)的三個(gè)基本性質(zhì). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3.3 常點(diǎn)、奇點(diǎn)與閉軌. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4 平面定性理論簡(jiǎn)介. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4.1 初等奇點(diǎn)附近的軌線(xiàn)分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4.2 平面非線(xiàn)性自治系統(tǒng)奇點(diǎn)附近的軌線(xiàn)分布. . . . . . . . . . . . . 114
5.4.3 極限環(huán)的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4.4 極限環(huán)的存在性和不存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
第六章 偏微分方程121
6.1 偏微分方程的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1.1 一般概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1.2 偏微分方程的解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.2 一階偏微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2.1 完全積分、一般積分和奇異積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2.2 幾類(lèi)特殊的一階偏微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.2.3 一階擬線(xiàn)性偏微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2.4 一階偏微分方程組. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132