本書是數(shù)學奧林匹克命題人講座(升級版)中的一本,主要講述平面幾何·圓的內(nèi)容。各章節(jié)從高考難題、全國聯(lián)賽一試試題的難度入手,充分考慮了參加數(shù)學競賽的高中學生的實際需要。
升級版書稿保留了第一版中具有典型性的問題,在此基礎上刪減了部分老題目,并將近年來的高校自招、全國聯(lián)賽、冬令營、IMO、中國女子數(shù)學奧林匹克、中國西部數(shù)學邀請賽及國外的數(shù)學競賽中的新題好題充實進來,既有一定的新鮮度,又充分考慮到合理性。
本套叢書不同于一般的堆砌大量難題的數(shù)學奧林匹克教材,而是力求做到既深入淺出,又具備很大的實用性,完整地體現(xiàn)各專題的思想方法,探索解題的一般規(guī)律,并注重對學生興趣和能力的培養(yǎng)。
數(shù)學競賽活動的開展,其目的是激發(fā)青少年學習數(shù)學的興趣,發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)具有數(shù)學天賦的學生,因材施教。數(shù)學競賽是中小學生的課外活動,也是一種特殊的素質(zhì)教育思維訓練。
數(shù)學競賽,可以讓學生養(yǎng)成獨立思考問題的習慣、建立對數(shù)學知識的看法及求知能力、初步具有創(chuàng)新意識。一個人對某個專業(yè)領域的興趣與創(chuàng)新意識應該從青少年時代就開始培養(yǎng)。
在近20年的菲爾茲獎(FieldsMedal)獲得者中,有一半以上是IMO的優(yōu)勝者。
我國的數(shù)學競賽選手中已經(jīng)涌現(xiàn)出許多優(yōu)秀的青年數(shù)學人才,如獲得著名的拉馬努金獎(RamanujanPrize)的張偉、惲之瑋、許晨陽、劉一峰等,并且有不少學者在國內(nèi)外知名高校或科研機構從事數(shù)學研究工作,如:朱歆文、劉若川、何宏宇、何斯邁、袁新意、肖梁、張瑞祥等。2008年、2009年IMO的滿分金牌獲得者韋東奕,在研究生一二年級時就做出了很好的成果。無論從整體還是從個別、從國外還是從國內(nèi)來看,數(shù)學競賽對數(shù)學與科學英才的教育都有非常重要的價值。
數(shù)學奧林匹克命題人講座叢書自2009年起陸續(xù)出版,受到了廣大數(shù)學競賽愛好者以及數(shù)學競賽教練員的歡迎和好評。
近十年來,在各級各類數(shù)學競賽中又有不少好題與精妙的解法,為了與廣大數(shù)學愛好者分享這些妙題與巧解,在第一版的基礎上,我們組織了第一版的原作者和一些新作者編寫了數(shù)學奧林匹克命題人講座(升級版)。
數(shù)學奧林匹克命題人講座(升級版)包括《集合與對應》(單蹲)、《數(shù)列與數(shù)學歸納法》(單蹲)、《函數(shù)迭代與函數(shù)方程》(王偉葉、熊斌)、《初等數(shù)論》(馮志剛)、《組合問題》(劉培杰、張永芹、杜瑩雪)、《平面幾何(圓)》(田廷彥)、《組合幾何》(田廷彥)、《三角函數(shù)與復數(shù)》(楊德勝)、《向量與立體幾何》(唐立華)、《圖論》(任韓)、《不等式的證明》(熊斌、羅振華)、《平面幾何(直線型)》(金磊)。其中《不等式的證明》和《平面幾何(直線型)》為新增加的兩本。
本叢書中既有傳統(tǒng)的具有典型性的數(shù)學問題,也有選自近年高校自主招生、全國高中數(shù)學聯(lián)賽、中國數(shù)學奧林匹克、中國西部數(shù)學邀請賽、中國女子數(shù)學奧林匹克、國際數(shù)學奧林匹克以及國外數(shù)學競賽中的好題,還有一些是作者自編的問題。
感謝上海科技教育出版社和本叢書責任編輯盧源先生的精心策劃與組織。
感謝各位讀者自第一版出版以來提出了不少好的建議,希望大家繼續(xù)對升級版提出建議和批評,使本叢書不斷完善。
熊斌
2021年1月
田廷彥,1995年畢業(yè)于上海交通大學應用數(shù)學系。曾為國家集訓隊級別賽事命題,主要擅長平面幾何、組合幾何解題。在國內(nèi)外發(fā)表論文數(shù)篇(主要在組合幾何方面),出版奧林匹克數(shù)學和科普類圖書十余種。
第一講 反相似(不需要畫出圓的四點共圓)/001
1.1 題設與結(jié)論中不出現(xiàn)圓的簡單問題/001
1.2 題設與結(jié)論中不出現(xiàn)圓的復雜問題/010
1.3 題設或結(jié)論中出現(xiàn)四點共圓/023
第二講 圓與內(nèi)接直線型/036
2.1 圓內(nèi)接四邊形/036
2.2 三角形的外接圓/049
第三講 圓與切線/066
3.1 一般切線問題/066
3.2 三角形的內(nèi)切圓與旁切圓/082
3.3 圓外切四邊形/094
第四講 綜合問題舉隅/101
第五講 西姆森定理及其他/111
第六講 多圓問題/121
6.1 從三角形出發(fā)的兩圓問題/121
6.2 其他兩圓問題/139
6.3 從三角形出發(fā)的多圓問題/152
6.4 多圓共點及其他多圓問題/169
第七講 七個專題/183
7.1 托勒密定理/183
7.2 冪、根軸及調(diào)和點列/193
7.3 位似/208
7.4 反演/223
7.5 牛頓定理/234
7.6 滬山引理/239
7.7 雙心四邊形/244
第八講 雜題選講/252
附錄 完全四邊形與圓/262
參考答案及提示/266
升級版后記/317