《復變函數(shù)》的授課對象包括基礎數(shù)學、應用數(shù)學、計算數(shù)學、概率統(tǒng)計專業(yè)以及唐班等本科二年級學生，已使用8次，已使用人數(shù)約1，800人。編寫本書的目標是將復變函數(shù)的教學放在一個更大的整體框架中考慮。在縱向上要配合后繼教學以及學生從事科研的基礎知識的需要，在橫向上希望契合其他學科特別是理論物理學科的需求。實踐證明，本教材較適合數(shù)學學院各方向的本科生使用。
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目錄
前言
第1章 復數(shù) 1
1.1 基本知識 1
1.1.1 復數(shù)的表示和運算法則 1
1.1.2 開集、閉集和緊集 1
1.1.3 平面集合的復數(shù)描述 2
1.1.4 平面上的連續(xù)曲線 2
1.1.5 區(qū)域 3
1.1.6 Wada Lake：平面上的怪異集合* 3
1.2 輻角函數(shù) 3
1.2.1 輻角函數(shù)的多值性 3
1.2.2 輻角函數(shù)的定義：函數(shù)Argz0γ 4
1.3 輻角函數(shù)的單值區(qū)域 6
1.3.1 充分接近的曲線 7
1.3.2 曲線的同倫 9
1.3.3 Riemann的想法 12
1.4 無窮遠點與Riemann球面 12
1.4.1 Riemann球面 12
1.4.2 無窮遠點的鄰域和C*上的開集 13
習題 14
第2章 復變函數(shù) 16
2.1 復平面與增廣復平面上的連續(xù)函數(shù) 16
2.1.1 基本定義 16
2.1.2 復線性函數(shù)f(z)=αz 16
2.2 復變函數(shù)的導數(shù) 18
2.2.1 復變函數(shù)導數(shù)的定義 18
2.2.2 Cauchy-Riemann方程 18
2.2.3 導數(shù)的幾何意義 20
2.3 解析性質(zhì) 21
2.3.1 曲線的切線 21
2.3.2 局部復線性化 22
2.3.3 保形性蘊涵解析性 23
2.4 幾類特殊的解析函數(shù) 24
2.4.1 多項式函數(shù)和有理函數(shù) 25
2.4.2 指數(shù)函數(shù) 26
2.4.3 對數(shù)函數(shù) 28
2.4.4 冪函數(shù) 28
2.5 復合函數(shù)的支點以及單值解析分支 30
2.5.1 支點 30
2.5.2 導數(shù)等于0 31
習題 32
第3章 復函數(shù)的積分 35
3.1 復函數(shù)的積分的定義 35
3.1.1 復變量實值函數(shù)的積分 35
3.1.2 復函數(shù)的曲線積分 35
3.1.3 復曲線積分和實積分的聯(lián)系 36
3.1.4 兩個定義的比較 38
3.1.5 分段光滑曲線 39
3.1.6 一個常用的觀察 40
3.2 矩形區(qū)域上的Cauchy定理 41
3.2.1 一個不等式 41
3.2.2 解析函數(shù)在一點附近的復積分 42
3.2.3 矩形區(qū)域上的Cauchy定理 43
3.3 原函數(shù) 44
3.3.1 定義和基本性質(zhì) 44
3.3.2 凸區(qū)域上的解析函數(shù) 46
3.4 單連通區(qū)域上的Cauchy定理 48
3.4.1 定理的證明 48
3.4.2 一般區(qū)域上的Cauchy積分定理 49
3.5 同調(diào)形式的Cauchy定理 50
3.5.1 簡單閉曲線上的Cauchy積分公式 50
3.5.2 一般形式的Cauchy積分定理 51
3.6 Cauchy定理的應用 54
3.6.1 解析函數(shù)的可微性 54
3.6.2 Cauchy不等式與Liouville定理 55
3.6.3 Morera定理 56
3.6.4 內(nèi)閉一致收斂 56
習題 57
第4章 級數(shù) 60
4.1 復數(shù)項級數(shù) 60
4.1.1 基本定義 60
4.1.2 復數(shù)項級數(shù)的收斂判別準則 60
4.1.3 絕對收斂與復數(shù)項級數(shù)的Cauchy乘積 60
4.1.4 復函數(shù)項級數(shù) 61
4.1.5 解析函數(shù)項級數(shù)的極限 61
4.2 Taylor展式 62
4.2.1 冪級數(shù) 62
4.2.2 冪級數(shù)表示的唯一性 62
4.2.3 Taylor展式 63
4.2.4 解析函數(shù)的唯一性 64
4.3 Laurent展式 65
4.3.1 1 處的解析函數(shù) 65
4.3.2 Riemann球面上只有一點不解析的函數(shù) 68
4.4 解析函數(shù)在孤立奇點附近的行為 70
4.4.1 孤立奇點的定義 70
4.4.2 可去奇點 70
4.4.3 極點 71
4.4.4 本性奇點 72
4.4.5 1 作為孤立奇點 72
4.5 復積分理論的應用 74
4.5.1 fp和Lnf的單值解析分支 74
4.5.2 具有有限多個奇點的解析函數(shù)的積分 75
4.5.3 極點附近的留數(shù)計算 76
4.6 利用留數(shù)計算定積分 78
4.6.1 三角函數(shù)的積分 78
4.6.2 有理函數(shù)的實積分 79
4.6.3 形若的積分 81
4.6.4 積分區(qū)間內(nèi)有實可去奇點的積分計算 83
4.7 亞純函數(shù)的零點和極點個數(shù) 84
4.7.1 Lnf沿閉曲線的變化 84
4.7.2 分析解釋 85
4.7.3 幾何解釋 87
4.7.4 Rouche定理 88
習題 89
第5章 解析映射 92
5.1 單葉解析函數(shù) 92
5.1.1 解析函數(shù)的一個局部性質(zhì) 92
5.1.2 單葉解析函數(shù) 93
5.1.3 開映射定理和極大模原理 93
5.1.4 單葉解析函數(shù)的逆函數(shù) 94
5.2 分式線性變換與C*上的解析自同構 95
5.2.1 分式線性變換對應的矩陣·特殊線性群SL(2，C) 95
5.2.2 分式線形變換的定義域和值域 96
5.2.3 分式線性變換的保圓性 96
5.2.4 交比 98
5.2.5 分式線性變換 99
5.3 Schwarz引理 100
5.3.1 Schwarz引理 100
5.3.2 開圓盤的解析自同構群Aut(D) 100
5.3.3 復平面C的解析自同構群 102
5.3.4 增廣復平面C*的解析自同構群 102
5.4 Montel定理 103
5.4.1 基本定義 103
5.4.2 Montel定理的證明 103
5.5 Riemann保形映照原理的證明 105
5.5.1 定理的內(nèi)容及唯一性的證明 105
5.5.2 存在性的證明 106
習題 110
第6章 調(diào)和函數(shù) 112
6.1 調(diào)和函數(shù) 112
6.1.1 調(diào)和函數(shù)的定義及基本性質(zhì) 112
6.1.2 調(diào)和共軛函數(shù) 112
6.1.3 均值公式 113
6.1.4 Possion積分公式 114
6.2 Dirichlet問題的解 117
6.2.1 Harnack定理 117
6.2.2 次調(diào)和函數(shù) 118
6.2.3 Dirichlet問題的解 119
6.2.4 定義集合類B(f) 120
6.2.5 解存在的條件 121
6.2.6 Barrier的存在性 123
習題 124
第7章 解析開拓 126
7.1 Schwarz反射定理 126
7.1.1 對稱區(qū)域 126
7.1.2 H的解析自同構群 129
7.1.3 一般形式的Schwarz對稱原理 129
習題 130
第8章 無窮乘積 131
8.1 級數(shù)展開 131
8.1.1 部分積序列 131
8.1.2 無窮乘積與級數(shù)的關系 133
8.1.3 無窮乘積的絕對收斂 134
8.2 整函數(shù)的無窮乘積展開 134
8.2.1 整函數(shù)的零點個數(shù) 134
習題 136
第9章 保形映照在邊界點的行為 138
9.0.1 簡單邊界點 138
9.0.2 徑向極限 139
9.0.3 保形映照在邊界的連續(xù)延拓 140
習題 142
附錄A Cauchy核與Poisson核 143
A.1 Poisson積分的一些性質(zhì) 143
A.1.1 進一步考察Poisson核 143
A.1.2 由Poisson積分定義的函數(shù) 144
A.2 Cauchy積分和Poisson積分的關系 145
A.2.1 Cauchy核和Poisson核的比較 145
參考文獻 148
索引 149
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