前言：為什么是五角
對于古往今來的許多數(shù)學家而言，五角是個散發(fā)著奇特魅力的詞我不是在說美國國防部所在的五角大樓,而是字面意義上的、由五條邊組成的五邊形,以及由其對角線相連而成的五角星。
墨菲(RichardMurchie)
1959年9月14日，蘇聯(lián)的月球2號探測器墜落在月球表面的雨海盆地以東，成為首個在月球表面實現(xiàn)硬著陸的航天器。探測器攜帶了兩個直徑分別為15厘米和9厘米的裝飾球(圖1),它們由刻有字母和蘇聯(lián)盾徽的五邊形金屬獎章拼接而成。在探測器與月球表面發(fā)生撞擊時，金屬球被撞碎，這些五邊形的獎章就隨之散落在著陸點附近，成為人類首次地外之旅時發(fā)送的名片。
五邊形的歷史可以追溯到大約2500年前。公元前6世紀，畢達哥拉斯學派的數(shù)學家們認為五邊形有著特殊的魔力，能為人們帶來好運和財富。他們把五邊形的五個頂點依次連接，組成五角星的形狀，并以此作為學派內部的問候標志²。時間流逝，而圍繞在五角星周圍的神秘色彩卻并未消散。在中亞、北非等許多地區(qū)的穆斯林清真寺里，五角星和六角星的裝飾隨處可見(彩插15),甚至摩洛哥的市政旗子上也有五角星(彩插8)。
通常而言，我們在說五邊形時，其實是在說正五邊形它的每條邊、每個角都相等。正五邊形的側邊向外凸出，看上去不如正方形、正六邊形或者正八邊形那么優(yōu)美對稱、賞心悅目。不過，實際并非如此。假如我們對某個圖形進行旋轉或翻轉后，其形狀保持不變，那么可以稱其具有對稱元素。正五邊形有十個對稱元素,其中包括5次旋轉(每次繞其中心旋轉72)和5次翻轉(其對稱軸是經(jīng)過一個頂點及其對邊的垂線)。相比之下，正方形只有八個對稱元素(4個90的旋轉，兩條對角線以及兩條對邊中點的連線)。由此可見，看上去更對稱的不一定真的更對稱。隨著本書的展開，我們還將進一步研究五邊形和五角星的其他許多并非顯而易見的特性。
正五邊形在對稱性上不遑多讓，但在密鋪性上毫無疑問是落敗的。密鋪是一個重要的幾何特性，指用形狀、大小完全相同的圖形進行拼接，使彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片。這是因為正五邊形的每個內角都是108,而360不是108的整數(shù)倍。如此一來，拼接處要么留下空隙，要么出現(xiàn)重疊。所以，正五邊形是無法實現(xiàn)密鋪的。
可如果我們稍微放寬限制，不要求五邊形的每條邊、每個角都相等呢?如果一個凸五邊形只用重復和翻轉自身即可不重疊、無間隙地密鋪滿整個平面，那么幾何學家就稱其為可密鋪五邊形。幾個世紀以來，人們已經(jīng)知道一些不規(guī)則的凸五邊形可以密鋪平面，而對它們的系統(tǒng)性探索，則是現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計中最激動人心的故事之一。迄今為止，人們已經(jīng)找到了15種，并且信誓旦旦地表明所有可密鋪五邊形都已經(jīng)被找到了!在本書第7章，我們將了解這些可密鋪五邊形的發(fā)現(xiàn)歷程。要知道，其中有四種可密鋪五邊形是由一位只上了一年高中數(shù)學課的家庭主婦發(fā)現(xiàn)的!
不過，讓我們暫且回到正五邊形的話題。如果你把正五邊形的五個頂點與其中心(更準確地說，是這個正五邊形外接圓的圓心)相連，就會得到一個新的圖形。這個圖形沒有專屬的名稱，我們姑且引用生物學名詞，稱之為五重輻射。這種五重輻射的樣式在大自然中非常常見許多花和海洋生物都由五個相似的部分組成，具有五重輻射對稱性
(彩插1、2、10)。除了自然界以外，人類世界里也不乏這樣的設計：克萊斯勒的五星勛章車標曾一度遍布大街小巷，一些汽車輪轂被設計成五重輻射造型。古代的日本社會里，名門貴族們常有專屬的家徽,這些家徽常常是具有五重輻射特性的花卉或幾何造型(圖2)。慢慢地，家徽不再是王侯貴族們的專屬，而成為日本民族中廣為流傳并且延續(xù)至今的習俗³。在西方社會，中世紀城堡常常具有五重輻射造型城堡位于中心，五角各有瞭望塔。本書第9章就會為你展示這樣一座城堡，這座城堡歷盡滄桑而得以完好保存至今，實屬珍貴。當然，我們也不能忘了全世界最出名的那座具有五重輻射造型的堡壘位于美國弗吉尼亞州阿靈頓的五角大樓。這座緊鄰華盛頓特區(qū)的國防部辦公大樓無論在造型上，還是在戰(zhàn)略地位上，都是令人無法忽視的存在。
在各種藝術作品里，我們也常�？梢钥吹轿暹呅蔚纳碛�。圖3是丟勒(AlbrechtDirer)的代表作之一《憂郁》(Melencolia)。這幅作品刻畫了一位天使狀少女苦思冥想的神態(tài)，而她身邊則是一個多面體。從畫面來看，這個多面體有六個五邊形(盡管是不規(guī)則五邊形)面和兩個三角形面。這個與眾不同的多面體也因此被稱為丟勒多面體。不過，關于這個多面體(和圖中所繪的其他幾個幾何體)到底是什么樣子的、有什么含義，目前藝術界和數(shù)學界仍有爭議?。彩插3展示的彩色玻璃窗屬于德國邊境小鎮(zhèn)布賴薩的斯蒂芬斯大教堂，這是一座有著五邊形設計的哥特式教堂，始建于12世紀。在當代，達利(SalvadorDali,19041989)于1955年創(chuàng)作了《最后的晚餐圣禮》(SacramentoftheLastSupper)。這幅超現(xiàn)實主義作品描繪的情景似乎發(fā)生于一個十二面體內。正十二面體是五種柏拉圖立體之一，由12個正五邊形組成。關于這幅畫，本書第3章還將進一步介紹。
1982年，人們發(fā)現(xiàn)了一種全新的礦物質晶體。這種晶體具有十重輻射對稱性(所以當然也具有五重輻射對稱性)。在此之前，人類發(fā)現(xiàn)的所有晶體都是二、三、四、六重輻射對稱，從來沒有發(fā)現(xiàn)過其他對稱形式。因此，當時的科學界認為這種對稱形式的晶體不可能存在。這一晶體直到10年后才終于被承認，并為其發(fā)現(xiàn)者、以色列理工學院的謝赫特曼教授贏得了諾貝爾化學獎的榮譽。本書第8章將詳細講述發(fā)現(xiàn)這一晶體的故事。
當我每天早晨醒來時，第一樣映入我眼簾的東西便是天花板上的五葉吊扇。我會想象這五片扇葉旋轉所形成的圓，一個正五邊形內接于它，而這五片扇葉所對應的五條半徑即為圓心到正五邊形各頂點的距離。半夢半醒之間，我會放任思緒飄蕩古希臘人是怎么只用直尺和圓規(guī)就畫出正五邊形的呢?據(jù)說，柏拉圖(Plato,約公元前427前347)早在公元前400年就做到了這一點。畫出正五邊形可比畫出等邊三角形、正方形或者正六邊形難多了。實際上，五邊形的難體現(xiàn)在方方面面：怎么畫出正五邊形、怎么計算它的對角線、怎么計算它的面積，等等。古希臘人想必是被難到七倒八歪，才會賦予這個圖形如此多的神秘色彩吧!想要構建五邊形，核心秘密在于黃金分割比(也稱黃金比例)。黃金比
例的數(shù)值約為1.618*,常以希臘字母表示。本書第2章、第3章將重點講述與黃金分割相關的故事。
我們一輩子都在從事幾何學相關的研究，深感幾何不僅僅是數(shù)學，而且也是歷史和文化的一部分。而在這之中，五邊形與五角星的故事又占據(jù)著不可或缺的一席之地。本書以圖文結合的方式講述五邊形和五角星的數(shù)學本質、歷史及其在自然界和人類藝術以及建筑中的存在，希望讀者們能夠感興趣。此前，我們出版了《美麗的幾何》(BeautifulGeometry)。本書和前者一樣，都只涉及了初等數(shù)學。這里所說的初等,大約是高中的幾何、代數(shù)難度。本書的文字部分由我撰寫，圖片部分由黑白的配圖。我們誠摯地希望各位讀者能夠喜歡本作品。
在此，我們還要感謝以下人員在撰文和配圖中過程中提供的幫助，他們是：PaulCanfield,RonLifshitz,OdedLipschits,IvarsPeterson,PhilipPois-sant,PeterRaedschelders,PeterRenz,KathyRice,MosheRishpon,DorisSchattschneider,DanieldaanStrebe,BethThompson,SatomiUffel-mannTokutome以及DouglasJ.Wilson。此外，我們還要感謝始終支持本書創(chuàng)作的普林斯頓大學出版社的工作人員，以及提供了許多寶貴建議和意見的匿名審稿人。最后，我還要感謝我的愛妻達莉亞自始至終，她一直在我身邊，陪伴我、鼓勵我、支持我完成本書的創(chuàng)作，給予我靈感和建議。在此，我們誠摯地向以上各位致謝!
最后，關于本書的尾注，我們還有一句小小的補充：當我們在文中直接引用了已在參考書目中列出的文獻時，尾注中就只簡單列出標題和作者姓名；否則，就會給出完整的文獻來源信息。
馬奧爾
于耶路撒冷和圖恩
2022年1月