目錄
第1章 函數(shù)與極限 1
1.1 映射與函數(shù) 1
1.1.1 映射 1
1.1.2 函數(shù) 2
1.1.3 基本初等函數(shù) 3
習(xí)題1.1 4
1.2 函數(shù)的幾種特性 5
1.2.1 有界性 5
1.2.2 單調(diào)性 6
1.2.3 奇偶性 6
1.2.4 周期性 7
習(xí)題1.2 8
1.3 函數(shù)的運算 8
1.3.1 函數(shù)的四則運算 8
1.3.2 復(fù)合函數(shù) 10
1.3.3 反函數(shù) 11
1.3.4 初等函數(shù) 12
習(xí)題1.3 13
1.4 數(shù)列的極限 13
1.4.1 數(shù)列極限的定義 13
1.4.2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 15
1.4.3 數(shù)列收斂的判別法 16
1.4.4 子數(shù)列 18
習(xí)題1.4 19
1.5 函數(shù)的極限 20
1.5.1 當(dāng)*時函數(shù)f(x)的極限 20
1.5.2 當(dāng)*時函數(shù)f(x)的極限 22
習(xí)題1.5 24
1.6 函數(shù)極限的性質(zhì)和運算法則 24
1.6.1 函數(shù)極限的性質(zhì) 24
1.6.2 極限的運算法則 26
1.6.3 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 28
1.6.4 兩個重要極限 29
習(xí)題1.6 31
1.7 無窮小與無窮大 32
1.7.1 無窮小 32
1.7.2 無窮大 33
1.7.3 無窮小的比較 35
習(xí)題1.7 37
1.8 函數(shù)的連續(xù)性 37
1.8.1 連續(xù)概念 37
1.8.2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 39
1.8.3 函數(shù)的間斷點及其分類 41
習(xí)題1.8 42
1.9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 43
1.9.1 最值定理 43
1.9.2 介值定理 44
習(xí)題1.9 46
實驗1 一元函數(shù)的繪圖與極限的計算 46
總習(xí)題1 53
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 55
2.1 導(dǎo)數(shù)概念 55
2.1.1 引例及定義 55
2.1.2 求導(dǎo)舉例 57
2.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 60
2.1.4 可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 60
習(xí)題2.1 61
2.2 求導(dǎo)法則 62
2.2.1 四則求導(dǎo)法則 62
2.2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 64
2.2.3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 65
2.2.4 基本求導(dǎo)公式 68
習(xí)題2.2 69
2.3 高階導(dǎo)數(shù) 70
習(xí)題2.3 72
2.4 隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 73
2.4.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 73
2.4.2 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 76
2.4.3 相關(guān)變化率 78
習(xí)題2.4 78
2.5 函數(shù)的微分 79
2.5.1 微分的概念 79
2.5.2 微分公式與微分法則 82
2.5.3 微分在近似計算中的應(yīng)用 84
習(xí)題2.5 85
實驗2 導(dǎo)數(shù)與微分 86
總習(xí)題2 89
第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 91
3.1 微分中值定理 91
3.1.1 羅爾中值定理 91
3.1.2 拉格朗日中值定理 93
3.1.3 柯西中值定理 95
習(xí)題3.1 96
3.2 洛必達法則 97
習(xí)題3.2 102
3.3 泰勒公式 103
習(xí)題3.3 108
3.4 函數(shù)的單調(diào)性與極值 108
3.4.1 函數(shù)的單調(diào)性 108
3.4.2 函數(shù)的極值 111
習(xí)題3.4 114
3.5 函數(shù)的最值及其應(yīng)用 115
習(xí)題3.5 118
3.6 曲線的凹凸性及拐點 119
習(xí)題3.6 122
3.7 函數(shù)圖形的描繪 122
3.7.1 曲線的漸近線 122
3.7.2 函數(shù)圖形的描繪 124
習(xí)題3.7 126
3.8 曲率 126
3.8.1 弧微分 126
3.8.2 曲率 127
3.8.3 曲率圓與曲率半徑 129
習(xí)題3.8 130
實驗3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 131
總習(xí)題3 132
第4章 不定積分 135
4.1 不定積分的概念與性質(zhì) 135
4.1.1 原函數(shù)與不定積分 135
4.1.2 不定積分的性質(zhì) 137
4.1.3 基本積分公式 138
4.1.4 直接積分法 138
習(xí)題4.1 140
4.2 換元積分法 141
4.2.1 第一類換元法 141
4.2.2 第二類換元法 147
習(xí)題4.2 151
4.3 分部積分法 152
習(xí)題4.3 156
4.4 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分 156
4.4.1 有理函數(shù)的積分 156
4.4.2 三角函數(shù)有理式的積分 159
4.4.3 簡單無理函數(shù)的積分 161
4.4.4 積分表的使用 162
習(xí)題4.4 163
實驗4 不定積分 163
總習(xí)題4 165
第5章 定積分及其應(yīng)用 166
5.1 定積分的概念與性質(zhì) 166
5.1.1 定積分問題舉例 166
5.1.2 定積分的定義 168
5.1.3 定積分的性質(zhì) 170
習(xí)題5.1 173
5.2 微積分基本公式 174
5.2.1 位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系 174
5.2.2 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 174
5.2.3 牛頓-萊布尼茨公式 176
習(xí)題5.2 179
5.3 定積分的換元法與分部積分法 180
5.3.1 定積分的換元法 180
5.3.2 定積分的分部積分法 184
習(xí)題5.3 186
5.4 反常積分 187
5.4.1 無窮限的反常積分 187
5.4.2 無界函數(shù)的反常積分 189
*5.4.3 Γ函數(shù) 191
習(xí)題5.4 192
5.5 平面圖形的面積 193
5.5.1 定積分的元素法 193
5.5.2 平面圖形的面積 195
習(xí)題5.5 198
5.6 立體的體積 199
5.6.1 旋轉(zhuǎn)體的體積 199
5.6.2 平行截面面積為已知的立體的體積 201
習(xí)題5.6 203
5.7 平面曲線的弧長與旋轉(zhuǎn)曲面的面積 204
5.7.1 平面曲線的弧長 204
*5.7.2 旋轉(zhuǎn)曲面的面積 207
習(xí)題5.7 208
5.8 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 208
5.8.1 變力沿直線所做的功 208
5.8.2 壓力 209
5.8.3 引力 211
習(xí)題5.8 212
*5.9 數(shù)值積分 213
5.9.1 矩形法與梯形法 213
5.9.2 拋物線法 215
習(xí)題5.9 218
實驗5 定積分及其應(yīng)用 219
總習(xí)題5 223
第6章 空間解析幾何 225
6.1 空間直角坐標(biāo)系 225
6.1.1 定義 225
6.1.2 空間點的直角坐標(biāo) 226
6.1.3 兩點間的距離和中點坐標(biāo)公式 226
習(xí)題6.1 227
6.2 向量及其線性運算 228
6.2.1 向量的基本概念 228
6.2.2 向量的線性運算 229
6.2.3 向量的分解、方向角、投影 230
習(xí)題6.2 232
6.3 數(shù)量積 向量積 *混合積 232
6.3.1 兩向量的數(shù)量積 233
6.3.2 兩向量的向量積 235
*6.3.3 三向量的混合積 237
習(xí)題6.3 238
6.4 曲面及其方程 238
6.4.1 曲面方程的概念 238
6.4.2 旋轉(zhuǎn)曲面 239
6.4.3 柱面 241
6.4.4 二次曲面 242
習(xí)題6.4 244
6.5 平面及其方程 245
6.5.1 平面方程的幾種形式 245
6.5.2 兩平面的夾角 247
6.5.3 點到平面的距離 248
習(xí)題6.5 248
6.6 空間曲線及其方程 249
6.6.1 空間曲線的一般方程 249
6.6.2 空間曲線的參數(shù)方程 249
6.6.3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 251
習(xí)題6.6 253
6.7 空間直線及其方程 253
6.7.1 空間直線方程的幾種形式 253
6.7.2 兩直線的夾角 255
6.7.3 直線與平面的夾角 256
6.7.4 平面束 257
習(xí)題6.7 258
實驗6 三維圖形的繪制 258
總習(xí)題6 261
附錄 263
附錄A 二階和三階行列式簡介 263
附錄B 常用的曲線與曲面 266
附錄C 積分表 271
參考答案 279